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Problème pour étudier le sens de variation d'une fonction

Posté par
aygolf51 01-08-10 à 21:41

Bonsoir,

Je m'énerve sur un exercice c'est pourquoi j'ai besoin d'aide.
Voici l'exo:

On considère une fonction numérique f de la variable réelle x définie par :

f(x) = x^2 * ln|1-1/x |

1 Déterminer l'ensemble de définition Df de la fonction f.
2. Etudier la continuité et la dérivabilité de f sur son ensemble de définition.Calculer lorsqu'elle est définie , la dérivée de f.

3. Démontrer que f peut être prolongée par continuité en 0.Etudier la dérivabilité en 0 de ce prolongement, noté f barre.

4.Déterminer les variations de f barre sur Df U 0.Préciser les extrema locaux de f barre.

5 Etudier les limites de f barre aux bords de son ensemble de définition.

6. Démontrer que la courbe de f barre possède une asymptote verticale en 1 et une asymptote oblique en + ou - inf.

Je bloque sur la question 4.
J'espère que quelqu'un pourra m'aider parce que je ne vois pas comment faire.

Merci d'avance.

Posté par re : Problème pour étudier le sens de variation d'une fonction 02-08-10 à 00:54

Bonsoir,

Si $x<0$ ou $x>1$ , $f(x)=x^2\ln\,\left(1-\frac{1}{x}\right)$

$f'(x)=x\left[2\ln\,\left(1-\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{x-1}\right]=xg(x)$

On étudie $g$ sur $]-\infty,0[\cup]1,+\infty[$

$g'(x)=\frac{x-2}{x(x-1)^2}$

Sur $]-\infty,0[$ , $g'(x)<0$ et $g$ est décroissante.

Sur $]1,2]$ , $g'(x)\leq 0$ et $g$ est décroissante.

Sur $[2,+\infty[$ , $g'(x)\geq 0$ et $g$ est croissante.

Une étude des limites pour $g$ en $-\infty$ et $0^-$ permet d' affirmer que $g(x)>0$ sur $]-\infty,0[$

Sur l' intervalle $]1,+\infty[$ , on a $g(2)=1-2\ln\,2<0$ , $\lim_{x\to 1^+}g(x)=+\infty$ et $\lim_{x\to +\infty}g(x)=+\infty$

Le théorème des valeurs intermédiaires sur $]1,2]$ permet d' affirmer que $g(x)$ s' annulle en un unique $\alpha \in ]1,2]$

En résumé:

sur $]-\infty,0[$ , $g(x)>0$ et $f'(x)=xg(x)<0$ donc $f$ est décroissante

sur $]1,\alpha]$ , $g(x)\geq 0$ et $f'(x)=xg(x)\geq 0$ donc $f$ est croissante

sur $[\alpha, +\infty[$ , $g(x)\leq 0$ et $f'(x)=xg(x)<0$ donc $f$ est décroissante.

Reste à étudier de la même manière ce qui se passe sur $]0,1[$ avec $f(x)=x^2\ln\,\left(\frac{1}{x}-1\right)$

On aura $f'(x)=x\left[2\ln\,\left(\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{x+1}\right]=xh(x)$

En principe tu prouveras l' existence d' un réel $\beta\in ]0,1[$ tel que $h(\beta)=0$ :

sur $]0,\beta]$ $f'(x)\geq 0$ et $f$ est croissante.

sur $[\beta ,1[$ , $f'(x)\leq 0$ et $f$ est décroissante.

$\alpha \approx 1.40$ et $\beta\approx 0.32$

Voici la courbe:

$Problème pour étudier le sens de variation d\'une fonction$

Posté par re : Problème pour étudier le sens de variation d'une fonction 02-08-10 à 08:22

bonjour,
>>cailloux
il me semble que tu as mal recopié ton expression de h(x) (ou je suis mal réveillée)

Posté par

02-08-10 à 09:15

Merci beaucoup cailloux!! Je vais regarder ça attentivement.
En plus quelle rapidité!! Merci encore!
J'avais posé une fonction g mais pas celle ci.

Posté par re : Problème pour étudier le sens de variation d'une fonction 02-08-10 à 10:25

Pour le moment, je ne trouve la même chose à part que pour moi la fonction g est croissante sur ]-, 0[.

Posté par re : Problème pour étudier le sens de variation d'une fonction 02-08-10 à 11:11

Bonjour à tous,

Oui veleda, tu as raison:

Sur $]0,1[$ , $h(x)=2\,\ln\left(\frac{1}{x}-1\right)+\frac{1}{x-1}$

Citation :
à part que pour moi la fonction g est croissante sur ]-

, 0[.

tu as aussi raison: une erreur de recopiage...

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