Bonjour, jussurf

Je fais le même devoir que ma colègue Jussurf mais c'est une autre question qui m'embête, Pouvez vous m'aider?

Partie 2:
Soit D1 la droite du plan d'équation y=0
Q1) a)déterminer l'image de D1 par F.
b) -soit z à . Déterminer une condition nécessaire et suffisante simple pour que f(z) soit un nombre réel.
   -En déduire l'image réciproque de D1 par F.

Merci d'avance

Q1)a
soit M(z)D1 alors z=a, a d'où F(M) d'affixe y=2a(1-a) donc F(M) est un réel. pour ce qui est de l'image je ne vois pas non plus....
merci de votre aide

Pour la question 1a:
F(D1) est l'ensemble des points d'affixe   2x(1-x)   où x décrit l'ensemble des réels.
En faisant l'étude des variations de la fonction   x-> 2x(1-x)  , on voit que, quand x décrit R,  2x(1-x) décrit l'intervalle   ]-l'infini, 1/2].
F(D1) est donc la demi-droite   y=0  x inférieur ou égal à 1/2


f(z) est un nombre réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle.
Si  z=x+iy    alors  Im( f(z)) = Im(2(x+iy)(1-x-iy)) = y-2yx
Cette partie imaginaire est nulle si et seulement si  y=0  ou  x=1/2.
L'image réciproque de D1 par F est donc la réunion des droites d'équations  y=0 et x=1/2.

Tout ceci si je n'ai pas fait d'erreur de calcul

d'accord, j'avais trouvé pour la 1)a- que l'image de D1 était D1...mais je n'avais pensé a étudier la fonction 2x-2x².
Pour la b- j'ai touvé pareil donc pas d'erreur de calcul!

Par contre j'aimerai revenir a la partie 1,
Q6)Quels sont les points ayant un et un seul antécédant par F?
Je ne vois pas comment procéder...


Partie 2
Q2)Soit D2 la droite d'équation x=0. Soit C la courbe du plan d'équation x=y²/2.

c-Soit z.Déterminer une condition nécessaire et suffisante simple pour que f(z) soit un imaginaire pur, puis donner une équation simple de la courbe image réciproque de D2 par F.

2z(1-z) est un imaginaire pur z-z² est un imaginaire pur, posons z=a+ib alors a+ib-a²+b²-2abi est un imaginaire pur a-a²+b²=0.

j'ai commencé avec a-(a+b)(a-b)=0 mais sans succès puis j'ai exprimé b en fonction de a: b²=a²-ab=_a²-a ou b=-_a²-a mais je ne trouves pas cette condition simple...

pouvez vous m'aider
merci

Pour la question 6):
relis mon post de 11h25. La condition pour qu'il y ait un unique antécédent, c'est que l'équation du second degré ait une unique racine, donc que le discriminant soit nul ...

Pour l'autre question:
L'équation   a-a²+b²=0 est une équation simple. C'est l'équation d'une conique. Je dirais même plus: c'est l'équation d'une hyperbole.

pour la 6, l'ensemble des points serait le point M d'affixe 1/2
pour l'autre l'équation de la courbe image réciproque serait x-x²+b² une hyperbole?

Q6)C1={M(x,y)P/x²+y²=1, y0}
a-soit t[0,]. Soit z=e^it, calculez le module r et l'argument de f(z) en fonction de t.

pour r je trouve 2(-2cos(2t-t))
pour j'arrive à 2t+Arg(1-e^it)

merci de me corriger

Pour le point d'affixe 1/2: oui.

L'équation de l'image réciproque est    x-x²+y²=0
Pour ce qui est de reconnaître une hyperbole (ce qui n'est pas demandé): si tu n'as pas vu de cours sur les coniques, ce n'est pas possible de reconnaître une hyperbole. Si tu as vu un cours sur les coniques, alors, le résultat est presque immédiat.


Pour la question Q6:
f(z)=2z(1-z)=2e^it(1-e^it)=2e^ite^(it/2)(e^(-it)/2-e^it/2)=-4ie^3it/2sin(t/2)
(méthode de référence, à bien retenir; ce n'est pas la seule fois qu'elle sert)

A partir de là, tu dois trouver le module et l'argument de f(z)