On se propose de montrer que, pour tout polynôme P(X)=aX²+bX+c de
degré < ou = à 2, il existe 3 réels d,e,f tels que
P(X)=dP(X+1)+eP(X+2)+fP(X+3)
Montrer que l eproblème posé conduit à résoudre un système linéaires de 3
équations en les inconnues d,e,f dépendant des paramètres a,b,c
Merci d'avance
P(x+1) = a(x+1)²+b(x+1)+c
P(x+1) = ax² + x(2a+b)+a²+b+c
P(x+2) = a(x+2)²+b(x+2)+c
P(x+2) = ax² + x(4a+b)+4a²+2b+c
P(x+3) = a(x+3)²+b(x+3)+c
P(x+2) = ax² + x(6a+b)+9a²+3b+c
d.P(x+1)+e.P(x+2)+f.P(x+3) =x²(ad+ae+af) + x(2ad+bd+4ae+be+6af+bf) + a²d+bd+cd+4a²e+2be+ce+9fa²+2fb+fc.
A identifier avec P(x) = ax² + bx + c
ad+ae+af = a (1)
2ad+bd+4ae+be+6af+bf = b (2)
a²d+bd+cd+4a²e+2be+ce+9fa²+2fb+fc = c (3)
(1) ->
d + e + f = a (1')
(2) ->
2a(d+e+f)+2a²+4af+b(d+e+f) = b
->
4a²+4af + ab = b
f = (b - ab - 4a²)/4a (2')
(3) ->
a²(d+4e+9f)+b(d+2e+2f)+c(d+e) = c
a²(a+3e+8f)+b(a+e+f)+c(d+e)=c
a²(a+3e+8f)+b(a+e+f)+c(a-f)=c
e(3a²+b) + a³+8a²f + ab + bf + c(a-f-1) = 0
e = [a³+8a²f + ab + bf + c(a-f-1)] / (3a²+b) (3')
On a donc:
d + e + f = a (1')
f = (b - ab - 4a²)/4a (2')
e = [a³+8a²f + ab + bf + c(a-f-1)] / (3a²+b) (3')
On trouve f par (2') puisque a, b et c sont donnés.
On trouve e par (3') puisque a, b et c sont donnés et f vient
d'être calculé.
On trouve d par (3') puisque a est donné et e et f viennent d'être
calculés.
--------
Attention, je n'ai rien relu et il est presque sûr qu'il y a des erreurs
de calculs, refais le.
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :