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Niveau terminale
Problème sur une démonstration par récurrence
Posté par flynice
Bonjour !
Dans la démonstration par récurrence de :
|sin(nx)| <= |n.sin(x)|
(
|sin((n+1)x)|
= |sin(nx+x)|
= |sin(nx)cos(x)+sin(x)cos(nx)|
=< |sin(nx)cos(x)| + |sin(x)cos(nx)|
= |sin(nx)|.|cos(x)| + |sin(x)|.|cos(nx)|
=< |sin(nx)| + |sin(x)|
=< n.|sin(x)| + |sin(x)|
= (n+1).|sin(x)|
Je ne comprends pas le passage de |sin(nx)| + |sin(x)| à n.|sin(x)| + |sin(x)|.
Merci de votre aide !
On veut démontrer que .
Explicitons la rédaction de cette démonstration :
(1) Pour ,
* c'est vrai au rang puisque
* si c'est vrai au rang , c'est-à-dire si l'on a effectivement
, alors
Or , donc en tout,
c'est-à-dire
ce qui s'écrit, puisque ,
.
Ce qui signifie que c'est également vrai à l'ordre .
(2) pour ,
.
{remarque : }
Donc la propriété est vraie pour tout .