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produit de deux v.a.r gaussiennes

Posté par
Louistomtom 22-06-23 à 20:18

Bonjour,

J'ai un problème pour calculer la loi d'un produit de variables aléatoires suivant des lois normales de moyennes toutes deux nulles mais de variances différentes et indépendantes. Voici ci-contre le début de mes calculs.

\\     X,Y\hookrightarrow \mathcal{N}(0,\sigma_{X,Y}^2) \\


On s'intéresse ici spécifiquement au produit W=X\cdot Y.
Pour en trouver la loi on peut chercher à prendre le log de transformer le produit en somme:

\\     \ln(W) = \ln(X)+\ln(Y) \iff L_G = L_X+L_Y \\

On peut alors calculer les lois L_{X,Y} pour avoir L_G en utilisant que:
\\     f_{L_W} = f_{L_X}*f_{L_Y} \\

où f_\bullet est la fonction densité de la loi \bullet et
\bullet_1*\bullet_2 est le produit de convolution entre \bullet_{1,2}.

La transformation de la loi peut se faire soit en utilisant la fonction de répartition
soit en utilisant la formule de changement de variable.
En choisissant cette seconde méthode on a:

\\     \phi : \left(\begin{array}{ccc} \\         \R^+&\to&\R \\ \\         x&\mapsto&\ln(x) \\     \end{array}\right) \qquad \\     \phi^{-1} : \left(\begin{array}{ccc} \\         \R&\to&\R^+ \\ \\         x&\mapsto&\exp(x) \\     \end{array}\right) \\

Il s'agit bien d'un difféomorphisme de \R^+ dans \R, donc on peut appliquer la formule de
changement de variable:

\\     f_{L_X}(x) = f_{X}[\phi^{-1}(x)]\cdot |(\phi^{-1})'(x)| \\

L'indicatrice qui devrait être là étant donc valable sur tout \R, on a alors:

\\     f_{L_X}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_X^2}}\cdot\exp\left[x-\frac{\exp(2x)}{2\sigma_X^2}\right] \\

et là pour le produit de convolution ou la transformée de Fourier, je sèche.
J'ai essayé un changement de variable pour avoir
    u(x) = \dfrac{\exp(2x)}{2\varX} \iff x(u) = \dfrac{\ln(2\varX u)}{2} \iff  \dfrac{dx}{du}(x) = \dfrac{1}{2u}

Puis:
f_{L_W}(x) = \dfrac{\exp(y)}{\sqrt{2\pi\sigma_X^2\sigma_Y^2}}\cdot\int_\R \exp(-u)\cdot\exp\left(-\dfrac{\exp(2y)}{4\sigma_X^4\cdot u}\right)~\dfrac{du}{2u} \\ \\ = \dfrac{\exp(y)}{\sqrt{2\pi\sigma_X^2\sigma_Y^2}}\cdot\int_\R (-u)\exp(-u)\cdot\dfrac{-1}{2u^2}\exp\left(-\dfrac{\exp(2y)}{4\sigma_X^4\cdot u}\right)~du



Quelqu'un à une idée?
Sachant que le résultat est censé être une "loi de Bessel" d'après
Je sais que c'est très calculatoire et je remercie de tous coeurs ceux qui auront le courage!

Posté par
carpediemre : produit de deux v.a.r gaussiennes 22-06-23 à 20:50

salut

indépendamment de tout ce qui suit ensuite mon pb est de prendre le logarithme de W qui n'a aucune raison d'être strictement positif


peut-être une idée est qu'on peut écrire :    4W = 4XY = (X + Y)^2 - (X - Y)^2

les variables aléatoires X + Y et X - Y suivent une loi normale

leurs carrés suivent une loi du Khi2 et pour la différence voir le bas de la page 68 de ton lien ou le début de la page 69

Posté par
Louistomtomre : produit de deux v.a.r gaussiennes 22-06-23 à 23:30

Bonsoir CarpeDiem,

J'ai terriblement manqué de prise de hauteur, grand merci!
Je vais creuser dans ce sens!

Merci encore!

Posté par
Louistomtomre : produit de deux v.a.r gaussiennes 23-06-23 à 19:34

Re bonjour,

Alors j'ai refait les calculs jusqu'à l'obtention des lois de Chi2 mais après j'ai été largué par le papier cité (en PJ).

Est ce qu'il y a une méthode pour calculer la densité de la somme d'une loi quand les deux lois ne sont pas indépendantes?

Posté par
Louistomtomre : produit de deux v.a.r gaussiennes 23-06-23 à 19:37

j'ai oublié le fichier.
Voici quelques pages uniquement mais S***ub l'a dans sa bibliothèque.

pdf
PDF - 452 Ko

Posté par
Louistomtomre : produit de deux v.a.r gaussiennes 26-06-23 à 23:42

Bonsoir,

J'ai eu accès à un document supplémentaire (pj) qui dit que la fonction densité d'un produit de lois est:

f_{X\cdot Y}(z)=\int_{\R^+} f_X(x)\cdot f_Y(z/x)\frac{dx}{x}

Mais ici je n'arrive pas à voir comment intégrer car j'obtiens une intégrale du type:

\int_{\R^+}\exp\left(-x^2-\frac{z^2}{x^2}\right)\frac{dx}{x}

Mais je sèche pour la suite.
Des idées?

Merci encore mille fois,

pdf
PDF - 204 Ko

Posté par
Ulmierere : produit de deux v.a.r gaussiennes 29-06-23 à 16:48

Tu peux sortir l'arme de destruction massive, introduire deux semi-martingales W^1_t et W^2_t, et appliquer la formule d'Ito avec g(t,x,y) := f(xy), puis prendre l'espérance.

Ensuite, il restera à dire que XY = \sigma_X\sigma_Y X'Y' où X' = X/\sigma_X et Y'=Y/\sigma_Y sont deux N(0,1) indépendantes et dont le produit est de loi donnée par le calcul précédent

Posté par
Louistomtomre : produit de deux v.a.r gaussiennes 29-06-23 à 18:48

Bonsoir Ulmiere,

Merci pour la piste.
Le truc c'est que je n'ai jamais traité des martingales et wikipedia m'a perdu...

Sur un autre forum ils m'ont juste donné l''integrale que j'ai mentionné plus haut et c'est tout... Donc bon c'est tout je vais m'y faire

Posté par
leon1789re : produit de deux v.a.r gaussiennes 30-06-23 à 22:59

Bonsoir,
la fonction de densité de produit X*Y que tu cherches est liée à la fonction de BesselK. Précisément c'est
\\ f_{XY}(t) = \frac{1}{\sigma^2 \pi}{\em BesselK} \left( 0,{\frac {|t|}{\sigma^2} \right) \\
Elle ne se calcule pas simplement, mais avec une intégrale, genre :
\\ \frac{1}{\sigma^2 \pi} \int_0^{\infty} (\frac{1}{x} \exp(-\frac{x^2}{2s^2}-\frac{t^2}{2x^2s^2})\ \ dx \\



Le livre de Mathieu Rouaud ne parle évidemment pas du tout du problème soulevé ici. Encore une idée fausse sur ce livre...

Posté par
leon1789re : produit de deux v.a.r gaussiennes 30-06-23 à 23:03

le s dans la formule désigne \sigma : juste une petite erreur de typo.

Je réécris :
\\ f_{XY}(t) = \frac{1}{\sigma^2 \pi} \int_0^{\infty} (\frac{1}{x} \exp(-\frac{x^2}{2\sigma^2}-\frac{t^2}{2x^2\sigma^2})\ \ dx \\


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