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Niveau terminale
produit scalaire
Posté par florian2
bonjour;
soit ABCDEFGH un cube d'arete 1.
M est un point de la droite (AF) et N est un point de la droite (BD).
on pose vect AM=a*vect AF et vect BN+b*vect BD
Déterminer a et b pour que la droite (MN)soit perpendiculaire aux droites (AF) et (BD),en utilisant 2 méthodes:
1)le repère orthonormal (A;AB;AD;AE) et les coordonnées des points qui interviennent dans les calculs de vect MN.vect AF et vect MN. vect BD
2)en décomposant vect MN en vect MA+vect AB+vect BN
vect AF en vect AB+vect BF
vect BD en vect BA+vect AD
et en calculant les differents produits scalaires intervenant sans utiliser de coordonnées
mais en faisant uniquement fonctionner les propriétés du produit scalaire.
je bloque sur cet exercice.merci de bien vouloir m'indiquer une piste pour chacune des 2 questions posées ci-dessus.
1) A(0;0;0) B(1;0;0) C(1;1;0) D(0;1;0) E(0;0;1) et F(1;0;1)
Bonjour,
Calcule d'abord les coordonnées de
Puis déduis-en les coordonnées de M.
Toutes les formules sont dans le cours.
bonsoir;
il m'est tres difficile de calculer les coordonnées de M et N sans connaitre a et b...
comment faire?donnez moi une piste svp...
Bonjour florian2,
Je vais essayer de t'aider un peu. Voici les règles du jeu :
- apprends ton cours d'abord ; si je me rends compte que tu ne le connais pas, je ne continuerai pas ;
- ne poste pas tes réponses ligne par ligne, mais des raisonnements structurés, de A à Z.
Relation de base :
Les coordonnées de sont
1)
a) Quelles sont les coordonnées de ? Sachant que
, quelles sont les coordonnées de
en fonction de a ? Quelles sont alors les coordonnées de M en fonction de a ?
b) Quelles sont les coordonnées de ? Sachant que
, quelles sont les coordonnées de
en fonction de b ? Quelles sont alors les coordonnées de N en fonction de b ?
c) Puisque tu connais maintenant les coordonnées de M et N, quelles sont les coordonnées de en fonction de a et b ?
d) (MN) doit être perpendiculaire à (AF). Exprime le produit scalaire en fonction de a et b. Dis qu'il est nul. Déduis-en une équation faisant intervenir a et b.
e) (MN) doit être perpendiculaire à (BD). Exprime le produit scalaire en fonction de a et b. Dis qu'il est nul. Déduis-en une équation faisant intervenir a et b.
f) Résous le système de 2 équations à 2 inconnues (a et b) obtenu.
bonjour,
1)a)
les coordonnées de vect AF sont xA-xF=1-0=1
yF-yA=0-0=0
zF-zA=1-0=1
vect AF a pour coordonnées : (1;0;1)
vect AM= a vect AF
par consequent,on a : xM-xA=a (xF-xA)<=>XM-XA=a (1-0)<=>xM-xA=a<=>xM=xA+a<=>xM=0+a=a
yM-yA=a (yF-YA)<=>yM-yA=a (0-0)<=>yM-yA=a*0<=>yM=yA+0<=>yM=0
zM-zA=a (zF-zA)=a (1-0)=a (1-0)<=>zM-ZA=a<=>zM=zA+a<=>zM=a
M(a;0;a)
les coordonnées de vect BD sont xD-xB=0-1=-1
yD-yB=1-0=1
zD-zB=0-0=0
vect BD a pour coordonnees : (-1;1;0)
vect BN=b BD
par consequent ,on a : xN-xB=b (xD-xB)<=>xN-xB=b (0-1)<=>xN-xB=-b<=>xN=xB-b=0-b=-b
yN-yB=b (yD-yB)<=>yN-yB=b (1-0)<=>yN-yB=b <=>yN=yB+b=0+b=b
zN-zB=b (zD-zB)<=>zN-zB=b (0-0)<=>zN-zB=b*0 <=>zN-zB=0<=>zN=zB=0
N(-b;b;0)
vect MN a pour coordonnées; (xN-xM;yN-yM;zN-zM) soit(-b-a;b-0;0-a) soit (-b-a;b;-a)
vect MN.vect AF=(-b-a)*1+b*0+1*(-a)=0<=>-b-a-a=-b-2a=0
(le produit scalaire vect MN.vectAF=0 puisque (MN) doit etre perpendiculaire à (AF))
vect MN.vect BD=(-b-a)*(-1)+b*1+0*(-a)=b+a+b
(le produit scalaire vect MN.vect BD=0 puisque (MN) doit etre perpendiculaire à BD)
on obtient une equation à 2 inconnues a et b:
soit -b-2a=0 (1)
2b+a=0 (2)
mais cette equation ne mene à rien...
dans (2),on a =-2b
on remplace a par -2b dans (1),on obtient -b-2b=0 soit -b=2b soit b=-2b soit b=1/2
dans (1),on a b=-2a
on remplace b par -2a dans (2),on obtient -2a+a=0 soit -2a=-a soit a=2a soit a=1/2
est ce juste?
2)pour la 2) quelle propriété du produit scalaire faut il employer ca il y'en a plusieurs
merci
Il y a un problème.
Citation :
vect BN=b BD
par consequent ,on a : xN-xB=b (xD-xB)<=>xN-xB=b (0-1)<=>xN-xB=-b<=>xN=xB-b=0-b=-b
yN-yB=b (yD-yB)<=>yN-yB=b (1-0)<=>yN-yB=b <=>yN=yB+b=0+b=b
zN-zB=b (zD-zB)<=>zN-zB=b (0-0)<=>zN-zB=b*0 <=>zN-zB=0<=>zN=zB=0
N(-b;b;0)
vect BN=b BD
par consequent ,on a : xN-xB=b (xD-xB)<=>xN-xB=b (0-1)<=>xN-xB=-b<=>xN=xB-b=0-b=-b
yN-yB=b (yD-yB)<=>yN-yB=b (1-0)<=>yN-yB=b <=>yN=yB+b=0+b=b
zN-zB=b (zD-zB)<=>zN-zB=b (0-0)<=>zN-zB=b*0 <=>zN-zB=0<=>zN=zB=0
N(-b;b;0)
xB n'est pas égal à 0.
bonjour,
1)a)
les coordonnées de vect AF sont xA-xF=1-0=1
yF-yA=0-0=0
zF-zA=1-0=1
vect AF a pour coordonnées : (1;0;1)
vect AM= a vect AF
par consequent,on a : xM-xA=a (xF-xA)<=>XM-XA=a (1-0)<=>xM-xA=a<=>xM=xA+a<=>xM=0+a=a
yM-yA=a (yF-YA)<=>yM-yA=a (0-0)<=>yM-yA=a*0<=>yM=yA+0<=>yM=0
zM-zA=a (zF-zA)=a (1-0)=a (1-0)<=>zM-ZA=a<=>zM=zA+a<=>zM=a
M(a;0;a)
les coordonnées de vect BD sont xD-xB=0-1=-1
yD-yB=1-0=1
zD-zB=0-0=0
vect BD a pour coordonnees -1;1;0)
vect BN=b BD
par consequent ,on a : xN-xB=b (xD-xB)<=>xN-xB=b (0-1)<=>xN-xB=-b<=>xN=xB-b=1-b
yN-yB=b (yD-yB)<=>yN-yB=b (1-0)<=>yN-yB=b <=>yN=yB+b=0+b=b
zN-zB=b (zD-zB)<=>zN-zB=b (0-0)<=>zN-zB=b*0 <=>zN-zB=0<=>zN=zB=0
N(1-b;b;0)
vect MN a pour coordonnées; (xN-xM;yN-yM;zN-zM) soit(1-b-a;b-0;0-a) soit (1-b-a;b;-a)
vect MN.vect AF=(1-b-a)*1+b*0+1*(-a)=0<=>1-b-a-a=1-b-2a=0
(le produit scalaire vect MN.vectAF=0 puisque (MN) doit etre perpendiculaire à (AF))
vect MN.vect BD=(1-b-a)*(-1)+b*1+0*(-a)=-1+b+a+b
(le produit scalaire vect MN.vect BD=0 puisque (MN) doit etre perpendiculaire à BD)
on obtient une equation à 2 inconnues a et b:
soit 1-b-2a=0 (1)
-1+2b+a=0 (2)
d'apres (2) on a ; a=1-2b
on remplace a par 1-2b dans (1)
ce qui donne; 1-b-2(1-2b)=0 soit 1-b-2-2b=0 soit -1-3b=0 soit 3b=-1 soit b=-1/3
on remplace à present b par -1/3 dans (2), soit -1+2*(-1/3)+a=0 ,soit -1-(2/3)+a=0 soit a=1+(2/3)=(3/3)+(2/3)=(5/3)
voila je crois que maintenant c'est juste...
pour la question 2),il faut utiliser quelles propriétés du produit scalaire stp car y'en a plusieurs.
merci
bonjour,
1)a)
les coordonnées de vect AF sont xA-xF=1-0=1
yF-yA=0-0=0
zF-zA=1-0=1
vect AF a pour coordonnées : (1;0;1)
vect AM= a vect AF
par consequent,on a : xM-xA=a (xF-xA)<=>XM-XA=a (1-0)<=>xM-xA=a<=>xM=xA+a<=>xM=0+a=a
yM-yA=a (yF-YA)<=>yM-yA=a (0-0)<=>yM-yA=a*0<=>yM=yA+0<=>yM=0
zM-zA=a (zF-zA)=a (1-0)=a (1-0)<=>zM-ZA=a<=>zM=zA+a<=>zM=a
M(a;0;a)
les coordonnées de vect BD sont xD-xB=0-1=-1
yD-yB=1-0=1
zD-zB=0-0=0
vect BD a pour coordonnees -1;1;0)
vect BN=b BD
par consequent ,on a : xN-xB=b (xD-xB)<=>xN-xB=b (0-1)<=>xN-xB=-b<=>xN=xB-b=1-b
yN-yB=b (yD-yB)<=>yN-yB=b (1-0)<=>yN-yB=b <=>yN=yB+b=0+b=b
zN-zB=b (zD-zB)<=>zN-zB=b (0-0)<=>zN-zB=b*0 <=>zN-zB=0<=>zN=zB=0
N(1-b;b;0)
vect MN a pour coordonnées; (xN-xM;yN-yM;zN-zM) soit(1-b-a;b-0;0-a) soit (1-b-a;b;-a)
vect MN.vect AF=(1-b-a)*1+b*0+1*(-a)=0<=>1-b-a-a=1-b-2a=0
(le produit scalaire vect MN.vectAF=0 puisque (MN) doit etre perpendiculaire à (AF))
vect MN.vect BD=(1-b-a)*(-1)+b*1+0*(-a)=-1+b+a+b
(le produit scalaire vect MN.vect BD=0 puisque (MN) doit etre perpendiculaire à BD)
on obtient une equation à 2 inconnues a et b:
soit 1-b-2a=0 (1)
-1+2b+a=0 (2)
d'apres (2) on a ; a=1-2b
on remplace a par 1-2b dans (1)
ce qui donne; 1-b-2(1-2b)=0 soit 1-b-2+4b=0 soit -1+3b=0 soit 3b=1 soit b=1/3
on remplace à present b par 1/3 dans (2), soit -1+2*(1/3)+a=0 ,soit -1+(2/3)+a=0 soit a=1-(2/3)=(3/3)-(2/3)=1/3
voila je crois que maintenant c'est juste...
pour la question 2),il faut utiliser quelles propriétés du produit scalaire stp car y'en a plusieurs.
merci
La méthode est bien celle-ci. Mais je n'ai pas envie de tout vérifier.
La meilleure façon de vérifier les valeurs que tu trouves pour a et b est de faire la question 2 !
peux tu me dire quelles propriétés du produit scalaire il faut étudier dans le cas de la question 2) stp car il y'en a tellement...merci
Laisse-toi guide par l'énoncé
MN.AF = 0
<=> (MA+AB+BN).(AB+BF) = 0
<=> ...
développe, simplifie, ...
bonsoir,
pouvez vous me donner un indice pour la question 2 svp car je n'y arrive vraiment pas à m'en sortir.
merci
Je t'ai dit comment faire : développe et simplifie.
MN.AF = 0
<=> (MA+AB+BN).AF = 0
<=> MA.AF + AB.AF + BN.AF = 0
<=> -a*AF.AF + 1*(V2)*(V2)/2 + BN.(AB+BF) = 0
<=> -a*(V2)*(V2) + 1 + BN.AB + BN.BF = 0
<=> -2a + 1 + b*BD.AB + 0 = 0
<=> -2a + 1 - b*(V2)*1*(V2/2) + 0 = 0
<=> -2a + 1 - b = 0
<=> 2a + b = 1
J'ai fait cela vite. Une faute de calcul est possible. A toi de vérifier.
Puis fait de même avec l'autre produit scalaire nul.
bonsoir nicolas_75,
je n'ai pas compris ton raisonnement à la ligne 4
en effet,d'ou sort le V2 et le V2/2.
merci