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produit scalaire

Posté par calimari (invité) 21-03-07 à 18:12

bonjour bonjour!!alors j'ai un dm de math a faire et je suis bloqué a la question 2 c et je n'est pas encore essayer la suite... mais je vous mets tout l'exo pour que ce soit plus compréhensible!!

On considere le cube ABCDEFGH d'arete 1.le nombre a designe un réel >0(strictement). On considere la demi-droite [AE) defini par
(vecteur)AM=1/a*(vecteur)AE.

1.determiner le volume du tétraedre ABDM en fonction de a. (je l'ai fait et j'ai trouvé 1/6*racine(1/a) mais je suis pas sur qu'il faut vraiment la racine ou laisser le 1/a dehors lorsque je cherche AM...)

2.Soit K=bar {(M,a^2) (B,1) (C,1)}
   a.exprimer (vecteur)BK en fonction des (vect)BM et BD.
              BK=(a^2/((a^2)+2))BM + 1/((a^2)/2)BD ???

   b.calculer BK.AM et BK.AD puis deduire BK.MD=0 (je l'ai fait mais ca fait en peu bricolage donc si vous avez mieux!!)

   c.demontrer DK.MB=0

   d.demontrer que K est l'ofthocentre du triangle BDM

3.demontrer AK.MB=0 et AK.MD=0. qu'en deduit on pour la droite (AK)?

4.a.montrer que BDM est isocele et que son aire vaut (racine((a^2)+2))/2a

  b.determiner le réel a tel que l'aire du triangle BDM soit égale a 1 unité d'aire. determiner la distance AK dans ce cas.


voila c tout!! merci d'avance pour ceux qui m'aideront (et j'espere qu'il y en aura!)

Posté par
cailloux Correcteurre : produit scalaire 21-03-07 à 18:38

Bonjour,

V=\frac{1}{6a} car AM=\frac{1}{a}AE

Je pense que K est le barycentre de \{(M,a^2);(B,1);(D,1)\}.

J' ai alors: \vec{BK}=\frac{a^2}{a^2+2}\vec{BM}+\frac{1}{a^2+2}\vec{BD}

\vec{BK}\vec{AM} s' obtient en remplaçant \vec{BK} par l' expression précédente.
On a \vec{BM}\vec{AM}=\vec{MB}\vec{MA}=MA^2=\frac{1}{a^2} penser aux projections de vecteurs.
et \vec{BD}\vec{AM}=0 vecteurs orthogonaux.
d' où: \vec{BK}\vec{AM}=\frac{1}{a^2+2}
on trouve de même: \vec{BK}\vec{AD}=-\frac{1}{a^2+2}
et \vec{BK}\vec{MD}=\vec{BK}(\vec{MA}+\vec{AD})=0 donc (BK) est une hauteur du triangle MBD.

On démontre de même que \vec{DK}\vec{MB}=0 et donc (DK) est une hauteur du triangle MBD.

Finalement, K est l' orthocentre du triangle MBD.

Posté par
cailloux Correcteurre : produit scalaire 21-03-07 à 18:50

Une erreur de signe sans conséquences: embarras:

On trouverait de même: \vec{BK}\vec{AD}=\frac{1}{a^2+2}

Posté par calimari (invité)re : produit scalaire 22-03-07 à 17:22

merci beaucoup cailloux!! pour l'instant je trouve pas le bon résultat mais je ne desespere pas!! par contre est ce qu'il y a quelqu'un pour la question 3 aussi svp? ca va le reste j'y suis arrivé!

Posté par
cailloux Correcteurre : produit scalaire 22-03-07 à 20:53

Bonsoir,

3) \vec{AK}\vec{MB}=(\vec{AD}+\vec{DK})\vec{MB}=\vec{AD}\vec{MB}+\vec{DK}\vec{MB}=0

Le premier produit scalaire est nul: (2 vecteurs orthogonaux)
Le second aussi: (DK) perpendiculaire à (MB) (hauteur du triangle BDM).

On démontre de même que \vec{AK}\vec{MD}=(\vec{AB}+\vec{BK})\vec{MD}=0

La droite (AK) étanT orthogonale à 2 droites sécantes (MB) et (MD) du plan MBD, est donc orthogonale à ce plan.

Posté par calimari (invité)re : produit scalaire 24-03-07 à 11:18

merci encore!maintenant j'ai (enfin) réussi a tout faire! en fait j'avais aussi trouvé ca pour (AK) mais je pensait qu'il y avait autre chose! merci! j'espere avoir un A cette fois!

Posté par sarah62172 (invité)probleme sur un produit scalaire 23-04-07 à 10:32

bonjour tout le monde,

j'aimerais savoir comment vous trouvez BK scalaire AD égal à 1/(a²+2) car j'ai beau retourner les vecteurs dans tous les sens je n'y arrive pas. Merci d'avance

Posté par sarah62172 (invité)re : probleme sur un produit scalaire 23-04-07 à 10:54

désolé mais j'ai réussi a retrouver ma réponse, merci quand meme !

Posté par sarah62172 (invité)produit scalaire 23-04-07 à 11:18

re bonjour cailloux, peux tu m'expliquer comment démontrer que DK scalaire MB est égal à 0 car je ne comprends pas du tout comment y parvenir. j'ai essayé de faire intervenir la relation de chasles, les projetés de vecteurs mais rien n'y fait !merci d'avance pour ton aide

Posté par
cailloux Correcteurre : produit scalaire 23-04-07 à 13:35

Exactement de la même manière que l' on démontre que \vec{BK}.\vec{MD}=0

Il suffit que tu reprennes le post du 21/03 à 18h38 en intervertissant les lettres B et D.

On commence par \vec{DK}=\frac{a^2}{a^2+2}\vec{DM}+\frac{1}{a^2+2}\vec{DB} et la suite.

Tu peux aussi dire que le triangle MBD étant isocèle en M, alors K appartient à la médiane issue de M dans ce triangle donc à la médiatrice de [BD] qui est axe de symétrie de ce triangle.

Par symétrie: \vec{BK}.\vec{MD}=0 \Rightarrow \vec{DK}.\vec{MB}=0

Posté par sarah62172 (invité)re : produit scalaire 23-04-07 à 13:47

merci beaucoup cailloux j'ai trouvé la solution de la question grâce a ton aide.peux tu m'expliquer comment on fait les fleches sur les vecteurs car j'ai répondu a un exercice tout a l'heure et sans les vecteurs c'est pas terrible.merci

Posté par
cailloux Correcteurre : produit scalaire 23-04-07 à 13:51

Re,

pour l' écriture d' un vecteur, tu écris \vec{AB} que tu sélectionnes ensuite avec la souris et tu cliques sur l' icône LTX en bas de la fenètre d' édition pour encadrer ton expression avec les balises "tex".

Cela donne \vec{AB}. Je t' encourage à faire des essais.

Posté par sarah62172 (invité)re:produit scalaire 23-04-07 à 13:52

merci beaucoup !cela me facilitera la tache !

Posté par
cailloux Correcteurre : produit scalaire 23-04-07 à 13:54

Posté par sarah62172 (invité)re : produit scalaire 23-04-07 à 14:04

pour la question 4a j'ai justifié que le triangle DMB soit isocèle comme ceci :

ABCDEFGH est un cube donc ses faces sont des carrés.Le point M est situé sur une arête du cube il est donc equidistants des sommets opposés des deux faces ABFE et ADHE. On a donc DM=MBet donc le triangle est isocèle.

est-ce juste ?

Posté par
cailloux Correcteurre : produit scalaire 23-04-07 à 14:08

m'Oui, je préfèrerais:

les triangles MAB et MAD sont rectangles en A, ils sont le côté MA en commun et AB=AD (arète du cube).

Les 2 triangles ont donc un angle égal compris entre 2 côtés égaux: ils sont isométriques et MB=MD d' où BMD isocèle en M.

Posté par sarah62172 (invité)re : produit scalaire 23-04-07 à 14:35

désolée de poser autant de questions mais cet exercice me bloque vraiment.je ne parviens pas à trouver l'aire du triangle BDM.La formule est h/2" alt="A=Bh/2" class="tex" />

Posté par sarah62172 (invité)re : produit scalaire 23-04-07 à 14:35

oups A=B*h/2 mais ici qui est B, qui est h ?merci pour ton aide !

Posté par
cailloux Correcteurre : produit scalaire 23-04-07 à 14:41

Quand on a l' aire d' un triangle à calculer, on a toujours 3 choix possibles.

Ici, je te conseille de prendre \frac{MI \times BD}{2} où I est le milieu de [BD];

BD=\sqrt{2} (diagonale d' une face du cube)

pour calculer MI, Pythagore dans letriangle MAI rectangle en A me semble tout indiqué.

Posté par sarah62172 (invité)re : produit scalaire 23-04-07 à 15:12

ok merci j'ai réussi. pour la valeur de a tel que l'aire de BDM soit égale a 1 je trouve a=(\sqrt{6})/3 on a donc \vec{AM}=\sqrt{6}/2 \vec{AE} mais comment trouve t'on la distance AK.je sais comment on calcule la distance d'un point a un plan mais il faut les coordonnées du plan que l'on a pas donc je bloque...un grand merci pour ton aide précieuse cailloux.quel niveau as tu en maths ?

Posté par
cailloux Correcteurre : produit scalaire 23-04-07 à 15:24

Re,

Avec le volume du tétraèdre MABD exprimé de deux manières différentes:

V=\frac{1}{6a}=\frac{1}{3}.AK.Aire(BMD)=\frac{AK}{3}

d' où AK=\frac{1}{2a}=\frac{\sqrt{6}}{4}.

Je dois quitter provisoirement; à plus

Posté par sarah62172 (invité)merci !! 23-04-07 à 15:31

merci beaucoup pour ton aide j'ai résolu le problème grâce à toi mais je voudrais quand meme savoir quel niveau tu as en maths si cela ne te derange pas bien sur !!j'ai un autre exercice assez tordu sur lequel je me creuse les méninges et j'y arriverai je pense merci beaucoup et a bientot.

Posté par
cailloux Correcteurre : produit scalaire 23-04-07 à 16:00

Je ne fais partie ni du milieu étudiant ni du milieu enseignant.

J' ai fait des études post bac en Maths, mais il y a plus de 30 ans. Mes souvenirs se sont un tantinet dilués... Mais pour ce qui est de la terminale, je pense encore tenir la route...

Posté par _Alyssa_ (invité)re : produit scalaire 20-05-07 à 15:17

Salut!
juste une précision : pourquoi on a dit que \vec{MB}.\vec{MA}=MA² ?
(dans le post de cailloux du 21/03/2007 à 18:38)

Posté par
cailloux Correcteurre : produit scalaire 20-05-07 à 15:46

Bonjour,

Parce que la projection du vecteur \vec{MB} sur le vecteur \vec{MA} est le vecteur \vec{MA} lui même.

Ainsi \vec{MB}.\vec{MA}=\vec{MA}.\vec{MA}=MA^2

Posté par _Alyssa_ (invité)re : produit scalaire 20-05-07 à 15:47

a oui d'accord :p. Merci cailloux!


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