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Niveau terminale
produit scalaire
Posté par marypohl
bonjour j'ai un exercice pourriez vous m'aider
Soit ABCDEFGH un cube de coté 1, soit le repère orthonormal (A;i;j;k) avec i= AB, j=AD et k= AE (ce sont des vecteurs)
On appelle I,J,K,L,M,N les milieu respectifs des segments BC CD DH HE EF FB
on appelle P le plan médiateur de AG (on rappelle que le plan médiateur d'un segment AG est le plan passant par le milieu de AG admettant AG pr vecteur normal et le plan médiateur d'un segment est l'ensemble des points de l'espace équidistants des extremités de ce segment)
1. Montrer que les six points I,J,K,L,M,N appartiennent à P
2. determiner une equation de P
3. Montrer que I,J,K,L,M,N est un hexagone inscriptible dans un cercle dont on précisera le centre et le rayon et montrer que tous ses cotés ont meme longuer
4. On considere la pyramide ayant pour base cet hexagone et pour sommet le point G. Quelle fraction du volume du cube représente cettte pyramide?
1. J'ai d'abord déterminer l'équation cartésienne du plan P (normalement quest 2) avec AG vecteur normal au plan P donc comme AG=AB+BC+CG=AB+AD+AE
AG(1,1,1)
l'équation: x+y+z+d=O
mais je n'ariv pas à déterminer un autre point. J'ai essayer par exemple avec B
B(1,0,0) mais sa ne marche pas car quand je veux montrer si les point I,J,K,L,M,N sont ds le plan sa ne marche pas
et les questions d'après je n'y arrive pas du tout
Bonjour, marypohl.
Pour la première question:
pour montrer qu'un point M appartient au plan médiateur de AG, il suffit de montrer que MA=MG.
Donc, tu dois montrer que:
IA=IG JA=JG ... NA=NG
prkoi sa ne marche pas quand on fais l'équation du plan?
x+y+z+d=O
ac B(1,0,0)
l'équation est x+y+z-1=O
I(1,1/2,0)
or 1+(1/2)-1
O
Voilà. Tu as compris la première question. Pour la deuxième question, tu as déjà que l'équation était:
x+y+z+d=0
et il te restait à déterminer la valeur de d. Il te manquait un point dans le plan. Tu en as un maintenant, le point I ...
le centre du cercle sera sans doute le milieu de AG car le plan médiateur du segment AG est l'ensemble des points de l'espace équidistants des extremités du segment mais est ce suffisant pour le démontrer
On sait déjà par la première question que les points I,J,K,M,L,N sont dans le plan P. Ils forment donc un hexagone.
Il faut deviner le centre du cercle, qui est le milieu U de [AG], de coordonnées (1/2,1/2,1/2).
On vérifie que les distances UI, UJ, UK, UL, UM, UN sont toutes égales. Les points I,J,K,L,M,N sont donc sur le cercle de centre U, situé dans le plan P, de rayon ...
Enfin, on montre que IJ=JK=KL=LM=MN=NI (ce dernier point, je ne l'ai pas vérifié )
ok je calcul apr les distances IJ=JK=KL=LM=MN=NI
et il n'est pas necessaire de montrer que les distances UI, UJ, UK, UL, UM, UN sont toutes égales car les point sont tous dans le plans médiateur donc on le sait déjat qu'il sont situé a égaldistance de U non?
je pense que pour cette question s'est bon alors
pour montrer la fraction de volume du cube représente le volume de cette pyramide
Non, on ne le sait pas, on sait que:
AI=GI AJ=GJ AK=GK AL=GL AM=GM AN=GN
Cela ne permet pas d'en déduire les égalités UI=UJ=...=UN.
On peut cependant remarquer, puisque les calculs ont déjà été faits, que:
AI=AJ=AK=AL=AM=AN
et en déduire que:
UI=UJ=...=UN
en utilisant le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles AUI,AUJ,...,AUM.
mais on ne peut pas s'implifier en disant que les points sont situer dans le plan médiateur et que, (par définition le plan médiateur d'un segment est l'ensemble des points de l'espace équidistants des extremités de ce segment)
et donc tous equidistants au milieu de ce segment soit U
Post de 1h15
Le rayon n'est pas égal à UA, mais à UI.
Post de 1h20
Il n'est pas très difficile de calculer le volume de la pyramide. Quelle est la formule donnant le volume d'une pyramide ?
Post de 1h27:
si ton raisonnement était vrai, il pourrait s'appliquer à tous les points du plan P. Tous les points du plan P seraient sur un même cercle, ce qui est faux. Donc, on ne peut pas simplifier comme tu le dis.
(MA=MG et NA=NG) n'entraîne pas que (MA=NA) ou que (MU=NU)
a oui en refaisant je viens de mapercevoir que le rayon est UI
volume d'une pyramide (tétraedre)= 1/3*B*H
(base *hauteur)
ok daccord j'ai repris ce que tu ma dit
alors:
d'après la question 1, les points I,J,K,M,L,N sont dans le plan P, ils forment donc un hexagone. Soit U le centre du cercle, milieu de (AG) de coordonnées (1/2,1/2,1/2). Montrons que UI=UJ=UK=UL=UM=UN
(je calculerais leur distances ac les coordonnés pour faire plus simple)
Les points I,J,K,M,L,N sont donc sur le m cercle de centre u situé dans le plan u de rayon UI.
Puis pour montrer que les cotés de l'hexagone sont de m longueurs je calculerai leur distances respectives. C'est bon comme ça?
mmm si c'est bon pour la formule mais c'est super galère
alors c'est 1/2 * le prérimètre de l'hexagone (6IJ) * l'apothème (hauteur d'une face de la pyramide) donc comme se sont des triangle équilatéraux on prend la moitier de IJ par exemple et ac pythagore on cherche l'autre coté