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Niveau terminale
produit scalaire
Posté par missnan
j'ai un exercice sur lequel je suis bloquée.
Voici l'énoncé.
On donne les points A(-1;-3) B(2;-1) et C(-2;-4)
a) déterminer la longueur de la hauteur du triangle ABS issue de A .
Donc je suppose qu'il faut calculer la distance entre le point A et le segment [BC].
Mais il me manque l'équation de droite pour appliquer la formule de la distance soit d= valeur absolue ( ax+by+c) / racine (a²+b²)
j'ai calculé les distance [AB] , [BC] , [AC]
[AB]= racine (13)
[AC]= racine (2)
[BC]= 5
J'ai également calculer les coordonnées des vecteurs CA et CB
CA(1;1)
CB ( 4;3)
J'ai voulu également essayer de travailler à partir du projeté orthogonal H de A sur [BC]
d'où vecteur( CB) . vecteur(CA)= vecteur(CB) . vecteur( CH)
or vecteur(CB).vecteur(CA)= 12.
pourriez vous me donner un indice pour pouvoir continuer.
JE ne suis pas sûr que tout ce que j'ai fait me serve.
Merci d'avance.
Missnan.
Une méthode parmi d'autre.
Equation de (BC) : y = (3/4)x - (5/2)
Soit un point M de (BC), on a: M(X ; (3/4)X - (5/2))
vect(AM) = (X+1 ; (3/4)X + (1/2))
vect directeur de la droite (BC) : u = (1 ; 3/4)
vect(u) . vect(AM) = 0 (si on veut que AM soit perpendiculaire à BC)
X+1 + (3/4)((3/4)X + (1/2)) = 0
X+1 + (9/16)X + 3/8 = 0
(25/16)X = -11/8
X = -22/25
Y = -(3/4)*(22/25) - 5/2 = - 79/25
Le point de rencontre H de la hauteur issue de A sur (BC) a pour coordonnées (-22/25 ; -79/25)
|AH| = V(9/625 + 16/625) = V(25/625) = 1/5
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Calcul à vérifier. 
Soit H le pied de la hateur issue de A. On a BH=(vec(BA)scalaire vec(BC))/BC
une fois que tu as calculé BH, Pythagore te donnera AH.
la distance de A à (BC) est le minimum de AM lorsque t décrit IR. Donc soit on utilise la dérivée soit la forme canonique
elmarsaoui a été, je pense distrait.
Par sa méthode, on devrait arriver à :
on trouve que M(x ; y) est sur (BC) --> x=2-4t et y=-1-3t.
On arrive alors à : AM = racine((3-4t)²+(2-3t)²) = racine(25t²-36t+13)
Il faut chercher le min de AM, ce sera pour x = 36/(2*25) = 18/25
--> AH = racine(25*(18/25)²-36*(18/25) +13) = racine(1/25) = 1/5
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Et le résultat colle alors avec ce que j'avais trouvé par ma méthode.