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Produit scalaire

Posté par
fafy 15-01-08 à 11:51

Bonjour,
J'aimerais qu'on m'aide à résoudre ce problème que je trouve difficile. Grand MERCI à ceux qui pourraient me donner un coup de main. Voici l'énoncé.

ABCDEFGH est le cube d'arête 1.L'espace est muni du repère orthonormal (A,AB,AD,AE)vecteurs.On désigne par a un réel strictement positif.L ,M et K sont les points définis par.AL= aAD, AM=aAB et CK=aCG (tout ça en vecteurs).
1-Calculer le produit scalaire EM.EL(vecteurs).En déduire la valeur,en fonction de a, de cos angle(MEL).En déduire que sin angle(MEL) =a(a²+2)/(1+a²)
2-Calculer l'aire du triangle ELM. Démontrer que la droite (AK) est orthogonale au plan (ELM).
3-On note P le projeté orthogonal de A sur le plan (ELM).
a)Démontrer que (en vecteurs):AM.AK=AP.AK.
b)Les vecteurs APetAK étant colinéaires,on note le réel tel que vecteurs AP= AK.
Démontrer que =a/(a²+2).En déduire que P appartient au segment [AK]
c)Déterminer les coordonnées de P et exprimer vecteur PK en fonction du vecteur AK.
(Il reste encore 2 petites questions mais bon...on verra après)

Voici ce que j'ai fait:EM.EL =1 ; cos(MEL)=1/(a²+1) ; sin(MEL)= résultat donné.
La suite , je n'ai pas su malgré mes essais. Si j'ai de l'aide ,ce sera bien
Bonne journée.

Posté par jcloc (invité)quelques indications 15-01-08 à 12:14

Bonjour et bon courage... La géométrie dans l'espace c'est pas du gâteau!!
Pour l'aire du triangle EML, peut-être est-il utile de montrer qu'il est isocèle...
Pour l'orthogonalité de la droite et du plan, pensez à des histoires de médiatrices, plan médiater... Et un calcul de produit scalaire astucieux est aussi possible.
Ensuite, il faut traduire les hypothèses en calcul sur les coordonnées. Un peu ardu mais possible. Ca demande du temps mais c'est normal sur ce genre d'exercice!

Posté par
fafyre : Produit scalaire 15-01-08 à 12:20

Merci jcloc pour avoir répondu.Je vais essayer le triangle isocèle,mais le reste?????Je ne comprends pas comment traduire les hypothèses en calul sur les coordonnées????Je suis complètement bloquée dans ce problème.Merci quand même.

Posté par jcloc (invité)d'autres précisions 15-01-08 à 12:48

D'après 3- (AP) est orthogonale à (ELM) donc P est sur (AK) . A y regarder de plus près, tu as raison. Il faut que tu aies à l'esprit que AP est orthogonale à toute droite du plan (ELM) ce qui est plus subtile qu'une simple traduction en coordonnées même si ça restait faisable.
Par exemple (AP) et  et (PM) sont orthogonales et donc dans le plan AMK dans lequel se trouve P je peux écrire le produit scalaire AM.AK en remplaçant M par son projeté orthogonal sur (AK)...Pour le calcul de lambda utilise l'égalité des produits scalaires et les coordonnées des points pour obtenir les coordonnées des vecteurs. Ca marche bien. En revanche je soupçonne que la réponse soit avec la racine carrée de a²+2. Un peu confus tout ça mais je n'ai pas l'habitude de répondre aux questions de cette façon... Bon courage

Posté par
fafyre : Produit scalaire 15-01-08 à 12:51

Merci, je vais revoir tout ça en suivant ce que vous dites.

Posté par
fafyre : Produit scalaire 15-01-08 à 12:56

Si la réponse est avec la racine carrée de (a²+2).

Posté par
cailloux Correcteurre : Produit scalaire 15-01-08 à 14:24

Bonjour,

2) S_{MEL}=\frac{1}{2}EL.EM. \,sin\,\widehat{MEL}=\frac{a\sqrt{a^2+2}}{2}

\vec{AK}.\vec{EM}=(\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CK}).(\vec{EA}+\vec{EL})

Après développement, il ne reste que:

\vec{AK}.\vec{EM}=\vec{CK}.\vec{EA}+\vec{AB}.\vec{AM}=-a+a=0

On démontre de même que \vec{AK}.\vec{EL}=0

La droite (AK) est donc orthogonale aux droites (EM) et (EL)

(AK) est donc orthogonale au plan ELM

3)a) P est le projeté orthogonal de M sur (AK)

donc \vec{AM}.\vec{AK}=\vec{AP}.\vec{AK}

3)b) \vec{AM}.\vec{AK}=\vec{AP}.\vec{AK}=\lambda AK^2

avec AK^2=AC^2+CK^2=a^2+2

d' autre part, \vec{AM}.\vec{AK}=a\vec{AB}(\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CK})=aAB^2=a

d' où a=\lambda(a^2+2) et \lambda=\frac{a}{a^2+2}

Tiens, je n' ai pas de racine carrée: erreur ????

je continue quand même...

comme 0\leq \lambda \leq 1 et \vec{AP}=\lambda\vec{AK}, P\in[AK]

3)c) K\|1\\1\\a donc P\|\frac{a}{a^2+2}\\\frac{a}{a^2+2}\\\frac{a^2}{a^2+2}

\vec{AP}=\vec{AK}+\vec{PK}=\lambda\vec{AK}

Donc \vec{PK}=(1-\lambda)\vec{AK}

Posté par
watikre : Produit scalaire 15-01-08 à 14:56

bonjour

1) tes résultats sont justes

au passage j'ai trouvé les coordonnées des points de l'énoncé dans la repèreorthonormal (A,AB,AD,AE):

L(0,a,-1)
M(a,0,-1)
K(1,1,a)

2)Aire(ELM)=||EL||.||EM||sin(MEL)

||EL||=rc(1+a²)
||EM||=rc(1+a²)

sin(MEL)=a.rc(a²+2)/(1+a²)

donc Aire(ELM)=a.rc(a²+2)

EL=aAD-AE et EM=aAB-AE

AK=AB+AD+aAE

donc AK.EL=(1)(0)+(1)(a)+(a)(-1)=a-a=0 donc AK est orthogonale à EL
de m^me AK.EM=(1)(a)+(1)(0)+(a)(-1)=a-a=0 donc AK est orthogonale à EM

donc AK est orthogonale à la base (EL,EM) du plan MEL donc AK est perpendiculaire au plan MEL

3a)

Tu as AM=AP+PM ; chasles
donc
AM.AK=(AP+PM).AK=AP.AK+PM.AK=AP.AK car PM.AK=0
CarP et M apprtiennet au plan MEL et AK est perpendiculaire à ce plan donc AK est orthogonal à tous les vecteurs de ce plan.

b)AP=xAK  ; x=Lamda
AM=aAB
et AK=AB+AD+aAE

donc AM.AK=a
AP.AK=x.AK² , car AP=xAK
     = x(2+a²)  ; car AK²=2+a²
comme AM.AK=AP.AK donc a=x(2+a²) donc x=a/(2+a²)

c) AP=x.AK=(a/(2+a²)).(AB+AD+aAE)

donc les coordonnées du point P sont:

(a/(2+a²)),a/(2+a²)), a²/(2+a²)))

et AP=(a/(2+a²)).AK

voila

Posté par
fafyre : Produit scalaire 15-01-08 à 15:13

Merci beaucoup beaucoup à vous deux! Je vais encore reprendre tout ça calmement pour bien m'en imprégner et assimiler la démonstration. Néanmoins, si vous pouviez terminer ces 2 petites questions(au point où vous en êtes!!),que voici:
En déduire que PK = a²+2/(a²+2).
A l'aide des questions précédentes,déterminer le volume du tétraèdre ELMK en fonction de a.
Merci et

Posté par jcloc (invité)bien vu 15-01-08 à 17:16

Belle démo. Et autant pour moi pour la racine carrée. Le seul truc c'est qu'il ne reste rien à faire pour le demandeur...C'est pas ma pédagogie.
Bon courage pour la suite
Cordialement

Posté par
cailloux Correcteurre : Produit scalaire 15-01-08 à 18:15

Re,

\vec{PK}=(1-\lambda)\vec{AK}+\left(1-\frac{a}{a^2+2}\right)\vec{AK}=\frac{a^2-a+2}{a^2+2}\vec{AK}

d' où PK=\frac{a^2-a+2}{a^2+2} AK=\frac{a^2-a+2}{\sqrt{a^2+2}}

KP est la hauteur du tétraèdre ELMK relative à la base MEL

d' où V=\frac{1}{3}PK.S_{MEL}=\frac{1}{3}\frac{a^2-a+2}{\sqrt{a^2+2}}\,\,\frac{a\sqrt{a^2+2}}{2}

V=\frac{a(a^2-a+2)}{6}

Posté par
cailloux Correcteurre : Produit scalaire 15-01-08 à 18:16

Heu...lire un signe = au lieu d' un signe + à la première ligne...

Posté par
fafyre : Produit scalaire 15-01-08 à 18:52

Merci cailloux pour tout ça, mais explique-moi juste la racine au dénominateur de PK ;car depuis 15h, jai trouvé PK (vecteur) mais pas PK.Alors, j'ai tout essayé pensant décomposer AK,mais je n'ai pas compris.Merci de me l'expliquer.

Posté par
cailloux Correcteurre : Produit scalaire 15-01-08 à 18:56

On a calculé AK^2=a^2+2 (voir 14h24) et AK=\sqrt{a^2+2}

et \frac{\sqrt{a^2+2}}{a^2+2}=\frac{1}{\sqrt{a^2+2}}...

Posté par
fafyre : Produit scalaire 15-01-08 à 19:03

Moi, j'ai multiplié AK par a²-a+2, donc (a²-a+2)((a²+2)/a²+2...??,

Posté par
cailloux Correcteurre : Produit scalaire 15-01-08 à 19:05

Oui mais:

si x>0 \frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{sqrt{x}}{(\sqrt{x})^2}=\frac{1}{\sqrt{x}}

Posté par
fafyre : Produit scalaire 15-01-08 à 19:22

Oui, mais je n'ai pas fait la relation, je suis étourdie!!!
Je vous remercie infiniment, je vais refaire le problème toute seule pour voir si j'ai assimilé,car il faut que j'arrive à le refaire pour pouvoir résoudre d'autres du genre.
Merci et bonne soirée

Posté par
cailloux Correcteurre : Produit scalaire 15-01-08 à 19:26

Bonne soirée à toi fafy

Posté par tortue13 (invité)re : Produit scalaire 24-01-08 à 12:13

bonjour j'ai le meme exercice a faire et je me demandais comment vous avez fait pour trouver sin MEL j'ai essayé divers méthodes sans trouver le résultats voulu

merci de me donner une piste

Posté par tortue13 (invité)re : Produit scalaire 24-01-08 à 13:39

svp

Posté par
cailloux Correcteurre : Produit scalaire 24-01-08 à 21:04

Bonsoir,

E\|0\\0\\1 M\|a\\0\\0 L\|0\\a\\0

D' où EM=EL=\sqrt{a^2+1}

\vec{EM}.\vec{EL}=EA^2=1 (penser aux projections)

\vec{EM}.\vec{EL}=EM.EL\,cos\widehat{MEL}=(a^2+1)cos\widehat{MEL}

On en déduit: cos\widehat{MEL}=\frac{1}{a^2+1}

et sin\widehat{MEL}=\sqrt{1-cos^2\widehat{MEL}}=\sqrt{1-\frac{1}{(a^2+1)^2}}=\frac{\sqrt{a^2(a^2+2)}}{a^2+1}=\frac{a\sqrt{a^2+2}}{a^2+1}

Posté par
fafyre : Produit scalaire 24-01-08 à 21:29

Bonsoir tortue, bonsoir cailloux,
Je viens à peine de prendre connaissance du message.Désolée de n'avoir pas répondu à temps...
Merci à cailloux pour l'avoir fait; j'ai effectivement procéder ainsi tout en gardant en tête que sin²x +cos²x = 1; et de là j'ai tiré sin MEL comme expliqué par notre cher et fidèle cailloux.
Merci , merci et bonne fin de soirée.


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