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produit scalaire

Posté par
fafy
16-01-08 à 09:31

Bonjour,
On considère un cube ABCDEFGH d'arête 1.a désigne un réel strictement positif.
On considère le point M de [AE]défini par AM(vecteur)=1/a AE(vecteur).
1-Déterminer le volume du tétraèdreABDM en fonction de a.
2-Soit K le barycentre du système des points pondérés{(M;a²);(B;1);(D;1)}
a)Exprimer BK en fonction de BM et de BD (vecteurs).
b)Calculer BK.AM et BK.AD(vecteurs) puis déduisez-en l'égalité BK.MD(vecteurs)=0.

Puis-je trouver quelqu'un pour m'aider à faire au moins ça(car le problème est long)? Merci.

Posté par
padawan
re : produit scalaire 16-01-08 à 09:44

Bonjour,
1- Ton tétraèdre est une pyramide de base le triangle rectangle ABD (Aire=1/2) et de hauteur AM=1/a, donc son volume est 1/(6a).

Je dois quitter l'île, j'espère que quelqu'un d'autre t'aidera dsl...

Posté par
fafy
re : produit scalaire 16-01-08 à 09:45

Merci padawan et bonne journée.

Posté par
mascate
re : produit scalaire 16-01-08 à 10:31

bonjour Fafy
je prends le relais?
2.a)
a² KM +KB +KD=0 (vecteurs)
a²(KB + BM) + KB + KB + BD = 0 (vecteurs)
(a²+2) KB + a² BM + BD = 0 (vecteurs)
BK= (a²/(a²+2))BM + (1/(a²+2))BD

2b.
BK . AM=(a²/(a²+2))BM .AM + (1/(a²+2))BD . AM (vecteurs)

Or les vecteurs BD et AM sont orthogonaux donc leur prod scalaire est nul
Par projection, BM . AM = AM²= (vecteurs)= 1/a²
donc
BK . AM= 1/(a²+2)

BK . AD =(a²/(a²+2))BM .AD + (1/(a²+2))BD . AD (vecteurs)

or les M et AD sont orthogonaux et par projection BD . AD (vecteurs)=1

donc BK . AD = 1/(a²+2)

Comme BK.MD(vecteurs)=BK(AD+MA)=BK(AD-AM)(vecteurs)
BK.MD(vecteurs)=o

sauf erreur de frappe.......

Posté par
fafy
re : produit scalaire 16-01-08 à 10:33

BK(vecteur)= (1+a²)BM + 2BD (vecteurs). Est-ce juste?

Posté par
mascate
re : produit scalaire 16-01-08 à 10:35

non lis mon développement.....

Posté par
fafy
re : produit scalaire 16-01-08 à 10:49

Bonjour mascate et merci de prendre le relai, c'est gentil à toi.
j'ai compris ce que tu as écrit mais je trouve bien compliqué,je dois arriver à résoudre toute seule,je me fais violence ,mais je ne peux pas.
Voici la suite du problème ( car je n'ai rien compris.MERCI!
d)Démontrer que K est l'orthocentre du triangle BDM.
3-Démontrer les égalités AK.MB(vecteurs)=0 et AK.MD(vecteurs)=0.Que déduire pour la droite (AK)?
a)Prouver que le triangle BDM est isocèle et que son aire =(a²+2)/2a unité d'aire.
b)Déterminer le réel a tel que l'aire du triangle BDM soit égale à 1 unité d'aire. Déterminer la distance AK dans ce cas.

Posté par
fafy
re : produit scalaire 16-01-08 à 10:57

Je ne saisi pas :par projection BM.AM=AM²(vecteurs)

Posté par
mascate
re : produit scalaire 16-01-08 à 10:58

qu'est ce que tu ne comprends pas?
je reprends
2.a)
a² KM +KB +KD=0 (vecteurs) expression de ce que K est barycentre de.....
a²(KB + BM) + KB + KB + BD = 0 (vecteurs) utilisation de la relation de Chasles
(a²+2) KB + a² BM + BD = 0 (vecteurs) développer et regrouper les termes semblables
BK= (a²/(a²+2))BM + (1/(a²+2))BD isoler le terme en BK pour répondre à la question

2b.
BK . AM=(a²/(a²+2))BM .AM + (1/(a²+2))BD . AM (vecteurs)  remplacer BK par sa valeur calculée en 2a

Or les vecteurs BD et AM sont orthogonaux donc leur prod scalaire est nul (regarde sur le cube , les vecteurs sont dans des plans perpendiculaires)
Par projection, BM . AM = AM²= (vecteurs)= 1/a² (utilisation d'une des déf du prod scalaire)
donc
BK . AM= 1/(a²+2)

BK . AD =(a²/(a²+2))BM .AD + (1/(a²+2))BD . AD (vecteurs)

or les M et AD sont orthogonaux et par projection BD . AD (vecteurs)=1

donc BK . AD = 1/(a²+2)

Comme BK.MD(vecteurs)=BK(AD+MA)=BK(AD-AM)(vecteurs)
BK.MD(vecteurs)=o

est ce mieux?

Posté par
fafy
re : produit scalaire 16-01-08 à 10:59

Et aussi BD.AD=1 ???

Posté par
mascate
re : produit scalaire 16-01-08 à 11:00

Citation :
Je ne saisi pas :par projection BM.AM=AM²(vecteurs
pour calculer un produit scalaire tu peux remplacer un vecteur par sa projection orthogonale sur l'autre.
Ici j'ai projeté orthogonalement le vecteur BM sur la droite (AM), cela donne le vecteur AM

Posté par
mascate
re : produit scalaire 16-01-08 à 11:02

Citation :
Et aussi BD.AD=1 ???

même propriété j'ai projeté orthogonalment BD sur AD; cela donne AD
donc BD . AD = AD . AD = AD²=1²=1

Posté par
fafy
re : produit scalaire 16-01-08 à 11:03

Non, j'ai compris; je disais simplement que je n'arrive pas à résoudre toute deule ,donc je suis en COLERE contre moi-même, un peu désespérée de ne pouvoir voir clairement et toute seule la solution.

Posté par
mascate
re : produit scalaire 16-01-08 à 11:06

reprends sur une fiche les déf. essentielles de barycentre, de produit scalaire et pour chaque question essaie de voir ce qui peut s'appliquer

Posté par
mascate
re : produit scalaire 16-01-08 à 11:07

d)Démontrer que K est l'orthocentre du triangle BDM.

y a pas de c)?

Posté par
fafy
re : produit scalaire 16-01-08 à 11:10

J'ai les fiches, la difficulté ici est de faire le lien ,mais je vais faire et refaire ce problème pour comprendre le raisonnement,c'est essentiel.

Posté par
fafy
re : produit scalaire 16-01-08 à 11:12

Si:c) Démontrer DK.MB=0?

Posté par
mascate
re : produit scalaire 16-01-08 à 11:14

un moment, je regarde....

Posté par
mascate
re : produit scalaire 16-01-08 à 11:28

en fait il faut refaire le raisonnement du 2a et 2b pour DK(vecteur)

d'abord tu exprimes DK en fonction de DM et DB ce qui donne DK= (a²/(a²+2))DM + (1/(a²+2))à mbre  DB
puis tu calcules DK . BA = 1/(a²+2)
DK.MA=1/(a²+2)
puis tu soustrais les deux égalités mbre et tu trouves DK . MB = 0

d) DK . MB = 0 donc (DK) perpendic à MB et K appartient à la hauteur sur MB
BK . MD =0 donc (BK) perpend à (MD) et K appartient à la hauteur sur MD
K est donc l'orthocentre du triangle BMD

Posté par
mascate
re : produit scalaire 16-01-08 à 11:29

pour la suite il y a encore une fois le même raisonnement mais je dois y aller!
Bon courage!

Posté par
fafy
re : produit scalaire 16-01-08 à 11:33

Il faut être ingénieux pour penser à tout ça!! Trop difficile pour moi,ce problème(?)

Posté par
fafy
re : produit scalaire 16-01-08 à 11:34

Merci mascate,merci beaucoup.

Posté par
mascate
re : produit scalaire 16-01-08 à 11:34

mais non c'est très répétitif
accroche toi!
si tu as compris le 2 tu dois pouvoir le refaire!

Posté par
fafy
re : produit scalaire 16-01-08 à 11:35

Je vais tout refaire maintenant.Merci encore.

Posté par
fafy
re : produit scalaire 16-01-08 à 14:25

Hello mascate,
J'ai tout refait, c'est OK, mais pas évident je trouve.
Néanmoins, dis-moi comment j'aurai pu penser à calculer DK.BA, et pourquoi?
Aussi, pourquoi soustraire les 2 égalités( et lesquelles?)
J'avoue que je n'aurai jamais penser à le faire !!!

Posté par
mascate
re : produit scalaire 16-01-08 à 16:02

oui je comprends tes questions!
il faut dire que le fait de faire des exos aide à "voir" comment faire.
Pourquoi penser à calculer DK.BA? pcq on te demande de prouver que K est orthocentre cad qu'il appartient aux 3 hauteurs ; tu venais de montrer que K appartient à une hauteur.......d'où mon idée de recommencer!



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