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Niveau terminale
Produit Scalaire
Posté par Bernard (invité)
Bonjour à tous 
Voici l'énoncé de mon problème :
« BOA est un triangle quelconque direct dans le plan
BOUC et PAON sont des carrés, construits extérieurement au triangle BOA ; GNOU est un parallélogramme.
On se propose de démontrer que le triangle CGP est rectangle isocèle en G
Avec le produit scalaire
a)démontrer que le vecteur CG= le vecteur BO + le vecteur ON et le vecteur GP = le vecteur UO + le vecteur OA.
En déduire que les droites (GP) et (GC) sont orthogonales.
b) Calculer GC et GP en fonction de cos de l'angle que forment les vecteurs UG et UC. »
J'ai du mal à répondre à ces questions.
J'ai réussi à démontrer que CG= le vecteur BO + le vecteur ON et le vecteur GP = le vecteur UO + le vecteur OA.
Dans cette relation, on sait que "vecteur BO" est perpendiculaire au "vecteur UO" et que "le vecteur ON" est perpendiculaire au "vecteur OA"
mais comment démontrer que les vecteurs résultants (CG et GP) sont perpendiculaires entre eux?
Quelqu'un aurait-il un indice pour calculer la longueur GC et GP en fonction de cos ("vecteur UG; vecteur UC") ?
car je ne vois pas comment relier ces deux longueurs avec cette propriété du produit scalaire appliquée aux vecteurs UG et UC: 
x
= |||| x |||| x cos(;)
Merci d'avance de me mettre sur la bonne voie.
bonjour et bonne année,
tu fais le produit scalaire CG.GP
=(BO+ON)(UO+OA) (tout cela en vecteurs bien entendu)
=BO.UO+B0.OA+ON.UO+OA.UO
les deux termes extrêmes sont nuls puisqu'il s'agit de produits de 2 vecteurs perpendiculaires.
Reste BO.OA+ON.UO
le produit scalaire étant = au produit des longueurs de ceux ci par le cosinus de l'angle qu'ils font entre eux tu vois aisément sur la figure faite que
angle (BO,OA) et angle(ON,UO) sont des angles supplémentaires (en O, la différence
2
-ces 2 angles=)
or cosa=-cos(-a)
Ici tu vois que les vecteurs ont même longueur
([BO]=[UO] et [OA]=[ON]
par conséquent la somme des 2 termes
BO.OA+ON.UO=0
et on a bien le produit scalaire CG.GP=0
les 2 vecteurs sont donc bien perpendiculaires
Bon travail
Posté par Bernard (invité)re : Produit Scalaire
Merci beaucoup et bonne année à vous aussi
je ne pensais pas que cette méthode marchait car je n'arrivais pas a prouver que "BO.OA + ON.UO = 0" 
je n'avais pas du tout remarqué que ces angles étaient supplémentaires!
bon je vais continuer à chercher la réponse de la deuxième question et je vous tien au courant 
Encore merci gaa
Posté par Bernard (invité)re : Produit Scalaire
J'ai pensé à ceci :
(tout en vecteur)
UG.UC =(UC+GC).(UG+GC)
UC.UG + UC.GC + GC.UG + GC2
UC2 + GC 2 + GC.UG
de cette facon on exprime la longeur GC en fonction de UG.UC
et comme UG.UC = UG(longueur) x UC (longueur) x COS (UG;UC)
on a mis en relation le cos(UG;UC) et la longeur GC
mais apres pour GP, ça ce complique, puis en comparant GC(longueur) et GP(longueur) de cette manière, apres avoir isolé GC(longueur)et GP(longueur), on ne peut pas vraiment conclure 
et le but est de montrer que GP(longueur) = GC(longueur)
S.O.S
bonjour,
dans un triangle quelconque ABC (côté a,b,c et angles A,B,C tu as la relation suivante
a²=b²+c²-2bc.cosA.
après avoir montré que les angles CUG et GOP étaient égaux (= à B+/2) et montré que les côtés adjacents de ces 2 angles dans les 2 triangles de même nom étaient égaux (a et c)
tu appliques la relation écrite ci dessus et il en ressort immédiatement que
[GC]=[GP]
Bonne reprise