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Produit Scalaire

Posté par
dydy13 09-02-09 à 21:32

Bonsoir à tous

Pouvez vous m'aider pour cette question s'il vous plait ? Merci beaucoup

Produit Scalaire
3$\textrm\blue \\ ABCDEFGH est un cube d'arete a. \\ M est un point quelconque de la grande diagonale [HB]. \\ On note x la mesure en radians de l'angle \widehat{AMC}. \\

3$\textrm\red \\ 1 - Exprimer AH et BH en fonction a. \\ 2 - a) Montrer que MA = MC. On pourra utiliser des triangles isometriques. \\ b) - Exprimer le produit scalaire \vec{MA}.\vec{MC} en fonction de la distance Ma et de x. \\ c) - Exprimer le produit scalaire \vec{MA}.\vec{MC} en fonction de la distance MA et de a. \\ d) - En deduire que : \frac{a^2}{MA^2^} = 1 - cos x.

J'ai fais :

1) d'après pythagore :

HA² = 2a² donc HA = 2a² et HB = 3a².

2) a- Je suis pas sure du tout

Si deux triangles ont 1 coté de même longueur adjacent a deux angles respectivement de même mesure alors ces 2 triangles sont isométriques.

On a donc AB = DC  - 3$\textrm \widehat{MDC} = \widehat{BAM} - \widehat{ABM} = \widehat{MCD} donc les tringles MCD et MBA sont isométriques.

Leurs cotés respectifs sont docn de même longueur, donc par identification on a bien MA = MC, DC = AB et MB = MD

b - MA.MC = MA * MC * cos \widehat{AMC}
          = MA² * cos \widehat{x}
          
c - MA.MC = MA.(MB+BC) = MA.MB + MA.BC = 0 + MA.AD après je suis bloquée...

d - donc je n'est pas pu conclure car il me manque le c.

Voilà,merci beaucoup pour vos explications et votre correction

Dydy


Posté par
dydy13re : Produit Scalaire 09-02-09 à 22:04

puis-je avoir de l'aide ?

Merci

Dydy

Posté par
Pit à Gore Correcteurre : Produit Scalaire 09-02-09 à 22:06

Je vais regarder ca demain matin. Ca roule???

Posté par
dydy13re : Produit Scalaire 09-02-09 à 22:08

J'aurais besoin de cette aide, c'est surtout pour demain donc.... désolé..

Dydy

Posté par
Labore : Produit Scalaire 09-02-09 à 22:38

bonsoir  dydy13,
AH=a√2  et  HB=a√3
2a)montrons que les triangles AMB et CMB sont isométriques
AB=BC
MB côté commun
tan \widehat{MBA}=\frac{HA}{AB}=\frac{a\sqr{2}}{a}=\sqr{2}

tan \widehat{MBC}=\frac{HC}{CB}=\frac{a\sqr{2}}{a}=\sqr{2}

MA=MC
2b)OK
2c)
dans le triangle ACM
AC=a√2
AC2=MA2+MC2-2MA*MCcosx
2a2=2MA2-2MA2cosx=2MA2(1-cosx)
a2=MA2(1-cosx)

Posté par
dydy13re : Produit Scalaire 09-02-09 à 22:44

merci beaucoup Labo !

Seulement je ne comprends pas à partir de là :

AC2=MA2+MC2-2MA*MCcosx, d'ou vient -2MA*MCcosx ?

Merci encore !

Dydy

Posté par
Labore : Produit Scalaire 09-02-09 à 22:49

j'ai utilisé la formule
dans un triangle ABC
BC2=AC2+AB2-2AC*AB*cosA
(relation métrique dans un triangle)

Posté par
dydy13re : Produit Scalaire 09-02-09 à 22:54

Je suis censée avoir déjà vu cette formule ??

Il n'y a pas une autre solution ?

Dydy (merci : )

Posté par
Labore : Produit Scalaire 09-02-09 à 22:54

démo
\vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}
BC^{2}=(\vec{AC}-\vec{AB})^{2}=AC^{2}+AC^{2}-2\vec{AC}\times\vec{AB}=AC^{2}+AC^{2}-2AC\times AB\times cos\widehat{BAC}

Posté par
Labore : Produit Scalaire 09-02-09 à 22:55

erreur de frappe AC2+AB2

Posté par
Labore : Produit Scalaire 09-02-09 à 23:01

j'ai retrouvé son nom
Relation d'Al Kashi , on le voit en 1er ,je crois.

Posté par
dydy13re : Produit Scalaire 09-02-09 à 23:07

ah oui !!! je vois maintenant !! Merci beaucoup !!

Je te postes ma dernière question si ça ne te dérange pas

3$\textrm\red \\ \\ 1) a- Etudier les variations de f définie sur [0;pi[ par f(x) = 1 - cos. \\ b- En deduire que x est maximal lorsque la distance MA est minimale. \\ c- Que represente alors le point M sur la droite (HB) pour le point A ? \\ En deduire la nature du triangle AMB. \\ d- Prouver que les triangles AMB et HAB sont semblables. \\ En deduire que \frac{BA}{BH} = \frac{MA}{AH}. \\ e- Montrer que x est maximal pour MA^2 = \frac{a^2}{3}. \\ En deduire que cos x = -\frac{1}{2}.

Dydy merci, je posterais mes réponses demain

Bonne nuit

Posté par
Labore : Produit Scalaire 09-02-09 à 23:09

il manque cos???

Posté par
dydy13re : Produit Scalaire 09-02-09 à 23:10

et ou ?

Dydy

Posté par
Labore : Produit Scalaire 10-02-09 à 10:06

bonjour ,
il manque seulement le x de cosx
a)f(x)=1-cosx sur [0;π ]
f'(x)=sinx  sur [0;π ]
0≤f'x)≤1  donc f(x) croissante sur [0;π ]
b) MA2=a2/f(x)=g(x)
g'(x)=-a2f'(x)/(f(x)2≤0
g(x) décroissante sur [0;π ]
MA est minimale si f(x) est maximale
c) la distance MA est minimale si M est la projection orthogonale de A sur (HB) (définition de la distance entre un point et une droite)
le triangle MAB est rectangle en M
d)les triangles MAB et AHB :
AHB rectangle en A
MAB rectangle en M
\widehat{MBA}=\widehat{HBA}car angle commun
\widehat{MAB}=\widehat{AHB}car complémentaire à \widehat{HBA}
leurs trois angles ont même mesure donc ils sont semblables.

cos\widehat{HAM}=\frac{MA}{AH}=cos\widehat{HBA}=\frac{AB}{HB}
d'où
\frac{BA}{BH}=\frac{MA}{AH}
e)
MA=\frac{BA}{BH}\times {AH}

MA^{2}=\frac{a^{2}\red{2}a^{2}}{3a^{2}}=\frac{\red{2}a^{2}}{3}
(il manque le 2 dans l'énoncé)
valeur maximale pour x
\frac{a^{2}}{MA^{2}}=1-cosx=\frac{3}{2}
cosx=1-3/2=-1/2

Posté par
geo3re : Produit Scalaire 10-02-09 à 10:24

Bonjour
2)c)
\vec{MA}\times{\vec{MC}=\vec{MA}\times(\vec{MA}+\vec{AC}) = MA^2-\vec{AM}\times\vec{AC} = MA^2 - (\vec{AB}+\vec{BM})\times(\vec{AB}+\vec{BC}) =
MA^2-AB^2-\vec{AB}\times\vec{BC}+\vec{BM}\times(\vec{AB}+\vec{BC}) = MA^2-a^2-0-\vec{BM}\times\vec{AC}=MA^2-a^2
car BM (ou BH) et AC sont orthogonaux
en effet
\vec{BH}\times\vec{AC}=(\vec{BA}+\vec{AC})\times(\vec{AB}+\vec{BC})=
-AB^2+\vec{AH}\times\vec{AB}+\vec{BA}\times\vec{BC}+\vec{AH}\times\vec{BC}=
-a^2+0+0+\vec{AD}\times\vec{AH}=-a^2+\vec{AD}\times\vec{AD}= -a^2+a^2=0
=>
2)d)par 2)b)et 2c) on a
MA²cos(\widehat{x})=MA²-a² => MA²(1-cos(\widehat{x}))=a²
A+

Posté par
dydy13re : Produit Scalaire 10-02-09 à 20:35

oh je vous remercie beaucoup !!!! :)

Vraiment merci, j'allais poster mes réponses justement...^^

Encore merci à vous deux !!

Dydy

Posté par
Labore : Produit Scalaire 10-02-09 à 20:46

Posté par
dydy13re : Produit Scalaire 10-02-09 à 20:53

encore merci

Dydy

Posté par
dydy13re : Produit Scalaire 11-02-09 à 17:05

Une dernière petit question

En fait, il s'agissait d'un

3$\textrm tp sur geospace donc l'objectif etait : \\ determiner la position du point M sur [HB] pour que l'angle AMC soit maximum. \\

Donc j'ai une question à la fin qui est :

3$\textrm\red Conclure

J'ai fais :

3$\textrm M est le projete orthogonal de A sur [HB] quand l'angle AMC \\ est maximal et que cos x vaut -1/2

Mais je ne suis pas sûre du tout...

Merci pour ta correction

Dydy

Posté par
Labore : Produit Scalaire 11-02-09 à 19:00

je quitte l'île pour un moment,
retour vers 9h30  A+
regarde ce qui se passe dans le plan BFC

Posté par
dydy13re : Produit Scalaire 11-02-09 à 19:26

ok, merci alors .

Dans le plan BFC, je suis désolé mais je ne voie pas ce qui ce passe vu que l'on ne utilise pas, enfin je veux dire, il ne "bouge" pas avec l'angle non .?...

Dydy

Posté par
Labore : Produit Scalaire 11-02-09 à 21:27

entourée de mes petites filles..., j'ai confondu A et C ...
retour au calme.
d'après les questions précédentes:
x est maximal quand MA  est minimale
comme la plus petite valeur de MA est celle qui correspond à cosx=-1/2
on en déduit que la valeur de x maximale est  2π/3
OK

Posté par
dydy13re : Produit Scalaire 11-02-09 à 21:31

vraiment merci Labo

Dydy

Posté par
Labore : Produit Scalaire 11-02-09 à 21:45


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