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Produit scalaire

Posté par
mathilde8
31-05-09 à 19:25

Bonjour, voici mon exercice :
Soit ABC un triangle, H son orthocentre et O le centre de son cercle circonscrit.
On pose (en vecteurs) V = HO + OA + OB + OC

1° Démontrer que (en vect) V.AB = V.BC = V.CA = 0
2° En déduire que (en vect) OH = OA + OB + OC
3° Soit G le centre de gravité du triangle ABC. Démontrer que (en vect) OH = 3 OG

Je bloque sur la première question; existe-il une propriété qui affirme que (en vect) OA + OB + OC = 0 (sachant que O centre du cercle circonscrit à ABC) ou bien que HA + HB + HC = 0 (sachant que H orthocentre du triangle) ?

Posté par
patrice rabiller
re : Produit scalaire 31-05-09 à 19:31

Bonjour

Citation :
existe-il une propriété qui affirme que (en vect) OA + OB + OC = 0 (sachant que O centre du cercle circonscrit à ABC) ou bien que HA + HB + HC = 0 (sachant que H orthocentre du triangle) ?


Non .

Par contre, si G est l'isobarycentre de A,B,C alors, pour n'importe quel point M du plan (que ce soit O ou H ou un autre), on a :

\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=3\vec{MG}

Posté par
mathilde8
re : Produit scalaire 31-05-09 à 19:52

Oui, mais celà ne m'aide qu'à la troisième question !
Comment faire pour la première ?

Posté par
patrice rabiller
re : Produit scalaire 31-05-09 à 20:06

Il faut penser que HC est perpendiculaire à AB. Donc \vec{HC}.\vec{AB}=0

Donc\(\vec{HO}+\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\).\vec{AB}=\(\vec{HC}+\vec{OA}+\vec{OB}\).\vec{AB}=\vec{HC}.\vec{AB}+(\vec{OA}+\vec{OB}).\vec{AB}

Je te laisse finir ...

Posté par
mathilde8
re : Produit scalaire 31-05-09 à 20:26

Je comprends très bien ce que tu as marqué, et j'ai même réussi la question 2 et 3, mais impossible de continuer l'équation vectorielle que tu as marqué..

Posté par
patrice rabiller
re : Produit scalaire 31-05-09 à 20:36

Alors je poursuis :

(\vec{OA}+\vec{OB}).\vec{AB}=(\vec{OA}+\vec{OB}).(\vec{AO}+\vec{OB})=OB^2-OA^2

Posté par
mathilde8
re : Produit scalaire 31-05-09 à 20:41

AAaah Merci beaucoup !

Posté par
patrice rabiller
re : Produit scalaire 31-05-09 à 20:43



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