3) / 2 (médiane/hauteur dans un triangle équilatéral)
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Niveau terminale
Produit Scalaire
Posté par poupi
ABCD est un tétraèdre régulier d'arête a.
J et K sont les milieux respectifs de [BC] et [AD].
1. Calculer JK.CD ( vecteurs)
2. Déterminer JK dans le triangle isocèle AJD et en déduire une valeur de l'angle 
formé par les vecteurs JK et CD.
3. Que peut-on dire de l'angle formé par les vecteurs JK et BA ?
De l'aide svp ! je suis bloquée au début !
non
1/
JK.CD
= (JD + DC + CK) . CD
----- développe
= JD.CD + DC.CD + CK.CD
= -DJ.CD - DC² + CK.CD
= -1/2 (DC + DB).CD + 1/2(CA + CD).CD - DC²
----- continue de développer.
...
Je détaille
1/
JK.CD
= (JD + DC + CK) . CD
= JD.CD + DC.CD + CK.CD
***************************
----------- u.v = - (-u.v)
= -DJ.CD + DC.CD + CK.CD
---------- u.-u = - (u.u) = - u²
**************************
= -DJ.CD - DC² + CK.CD
= -1/2 (DC + DB).CD + 1/2(CA + CD).CD - DC²
----- continue de développer.
...
1/
JK.CD
= (JD + DC + CK) . CD
= JD.CD + DC.CD + CK.CD
***************************
----------- u.v = - (-u.v)
= -DJ.CD + DC.CD + CK.CD
---------- u.-u = - (u.u) = - u²
**************************
= -DJ.CD - DC² + CK.CD
**************************
---------- règle du parallélogramme ABCD de centre O
---------- AO = 1/2 (AB + AD)
*************************
= -1/2 (DC + DB).CD + 1/2(CA + CD).CD - DC²
----- continue de développer.
...
= -1/2 (DC + DB).CD + 1/2(CA + CD).CD - DC²
= -1/2 DC.CD - 1/2 DB.CD + 1/2 CA.CD + 1/2 CD² - DC²
= 1/2 DC² - 1/2 DB.CD + 1/2 CA.CD + 1/2 CD² - CD²
= - 1/2 DB.CD + 1/2 CA.CD
= 1/2 DB.DC + 1/2 CA.CD
----------- or ABCD est régulier => les faces sont identiques
----------- DB.DC = CA.CD (vérifie sur ton croquis)
= CA.CD
----------- chaque face est un triangle équilatéral de côté a
= a * a * cos(60°)
= ???
...
je détaille :
= -1/2 (DC + DB).CD + 1/2(CA + CD).CD - DC²
= -1/2 DC.CD - 1/2 DB.CD + 1/2 CA.CD + 1/2 CD² - DC²
= 1/2 DC² - 1/2 DB.CD + 1/2 CA.CD + 1/2 CD² - CD²
****************************
= 1/2 DC² + 1/2 CD² - CD² - 1/2 DB.CD + 1/2 CA.CD
= 1/2 CD² + 1/2 CD² - CD² - 1/2 DB.CD + 1/2 CA.CD
= CD² (1/2 + 1/2 - 1) - 1/2 DB.CD + 1/2 CA.CD
= CD² (0) - 1/2 DB.CD + 1/2 CA.CD
****************************
= - 1/2 DB.CD + 1/2 CA.CD
= 1/2 DB.DC + 1/2 CA.CD
----------- or ABCD est régulier => les faces sont identiques
----------- DB.DC = CA.CD (vérifie sur ton croquis)
= CA.CD
----------- chaque face est un triangle équilatéral de côté a
= a * a * cos(60°)
= ???