Une définition du produit scalaire :
AB.CD = ||AB|| x ||CD|| x cos(AB,CD)

||AB|| est la norme du vecteur AB.

Question à te poser : quelle est la nature de chaque triangle (face du tétraèdre) ?

mais ici on a pas les normes des vecteurs , donc je me demande si je ne dois pas utiliser la relation de Charles ?

Tu as la norme car L est la longueur du côté du tétraèdre, mais effectivement ce n'est pas là qu'il faut regarder.

Tu devrais placer ton tétraèdre dans un repère cartésien (3 dimensions) avec par exemple comme vecteurs unitaires AB, AC et AD ! Et ensuite tu en déduis les coordonnées des autres vecteurs (facilement) puis tu utilises l'AUTRE définition du produit scalaire (avec les coordonnées)

ah je peux placer mon tétraèdre dans un repère  ?

Hmm non je t'ai dit une bêtise en fait vu que ton repère ne sera pas orthonormé. Mea culpa. Essaye avec la norme, sachant que la norme de AB, AC, AD etc est de L

Par exemple :
AB.AC = L²cos(/6)

je vois pas trop comment je peux faire :/

on a vu en classe une méthode avec la relation de charles je l'ai faite pour AB.AC et je trouve 0 mais pour les autres j'y arrive pas

Je veux dire cos(/3) car 60°=/3 radians
(C'est dommage qu'il n'existe pas de fonction éditer sur ce forum.)

Tu ne peux pas avoir AB.AC = 0 car un produit scalaire nul traduit une orthogonalité des vecteurs. Fais un dessin et constate : est-ce que les côtés AB et AC (qui ne sont pas opposés) sont orthogonaux ?

justement c'est pour cela que je bloque , ils ne sont pas orthogonaux enfin je ne pense pas

Alors utilise la définition du produit scalaire (avec les normes et le cosinus) !

Le repère cartésien ne peut pas t'être utile car il n'est pas orthonormé dans le cas du tétraèdre régulier.
A mon avis ta méthode doit plus ou moins passer par l'utilisation d'un repère cartésien orthonormé et ne doit marcher que pour les cubes/rectangles !

Je t'avais déjà donné une réponse, je vais l'éclaircir :
Chaque triangle composant ton tétraèdre régulier a pour côté L donc chaque triangle est équilatéral d'où chaque angle de chaque triangle vaut /3 !

Ainsi, AB.AC = ||AB|| ||AC|| x cos(π/3) = L x L x (1/2) = L²/2

d'accord et je fais la même chose pour les autres produits scalaire mais sa me dit quoi sur les arêtes opposées ?

mais par exemple pour AB.IK on peut pas faire la même chose

Fais un dessin pour avoir une meilleur vision.
KI m'a tout l'air de valoir L/2 en norme et d'être parallèle à AB.
Quant aux arrêtes opposées tu peux constater sur le dessin qu'elles sont orthogonales (mais pas perpendiculaires !), prends par exemple AB et CD !

A toi de trouver ça avec les questions de ton exercice

Si tu n'arrives pas à calculer certains produits scalaires, essaye de décomposer un des vecteurs par relation de Chasles. Ça marche très bien pour AB.CD

Et enfin, n'oublie pas que les angles sont orientés. Si (AB,AC) = π/3, (AB,BC) = π-π/3 = (2π)/3.