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Produit scalaire cube

Posté par
-sos-
30-01-12 à 17:01

Bonsoir,

je bloque depuis hier sur le scalaire AJ.BH, je ne comprends pas très bien quelle relation de Chasles on doit utiliser (si tant est qu'on doive l'utiliser!)

Le cube ci-dessous a pour arête a.

Merci de votre aide

Produit scalaire cube

Posté par
Asap
re : Produit scalaire cube 30-01-12 à 17:11

Bonjour,

Décompose chacun des vecteurs en 3 sous vecteurs composant les arrêtes du cube (par exemple AJ se décompose en AB,(1/2)BC et (1/2)BF), ensuite développes. Plusieurs termes orthogonaux vont disparaitre, le reste devrait être assez simple à calculer.

Posté par
-sos-
re : Produit scalaire cube 30-01-12 à 17:15

Je comprends pas ton expemple.

Tu dis que AJ=AB=(1/2)BC=(1/2)BF? Ou ce sont des +?
Je vois pas le rapport, je ne vois pas Chasles là dedans?

Posté par
Asap
re : Produit scalaire cube 30-01-12 à 17:18

Oui pardon ce sont des '+',

\vec{AJ} = \vec{AB}+\vec{BJ} (là, c'est Chasles)

ensuite \vec{BJ} = \frac{1}{2}\vec{BG} = \frac{1}{2}(\vec{BF}+\vec{FG}) = \frac{1}{2}(\vec{BF}+\vec{BC}) (car \vec{FG} = \vec{BC})

Posté par
-sos-
re : Produit scalaire cube 30-01-12 à 17:39

Ah d'accord... Merci.

J'ai essayé de décomposer \vec{JH} après avoir établi la relation suivante:
\vec{AJ} .\vec{BH} =(\vec{AB} +\vec{BJ} ).(\vec{BJ} +\vec{JH} )
                 =\vec{AB} .\vec{BJ} +\vec{AB} .\vec{JH} +\vec{BJ} ^2+\vec{BJ} .\vec{JH}
C'est \vec{JH}  le seul vecteur dont on n'a pas de valeur maintenant. J'ai fait ça, mais je ne suis pas sur que ce soit ça:
\vec{JH}=\vec{JF}+\vec{FE}+\vec{EH}
        =\frac{1}{2}\vec{CF}+\vec{FE}+\vec{EH}
        =\frac{1}{2}(\vec{CG}+\vec{CF})+\vec{FE}+\vec{EH}

Ca parait bizarre non?

Posté par
Asap
re : Produit scalaire cube 30-01-12 à 17:53

En effet, c'est  bizarre. En fait l'idée est d'exprimer chaque vecteur en fonction des arêtes du cube, une fois fait, les produits scalaire ne seront plus que deux cas possibles : soit les vecteurs sont orthogonaux, et le produit scalaire est nul, soit les vecteurs sont égaux et le produit scalaire est égale à la longueur d'une arête au carré.

\vec{AJ} = \vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{BC}+\frac{1}{2}\vec{BF}
\vec{BH} = \vec{BF}+\vec{FG}+\vec{GH} (simplement Chasles)

\vec{AJ}.\vec{BH} = (\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{BC}+\frac{1}{2}\vec{BF}).(\vec{BF}+\vec{FG}+\vec{GH})

\vec{AJ}.\vec{BH} = \vec{AB}.\vec{BF}+\vec{AB}.\vec{FG}+\vec{AB}.\vec{GH}+\frac{1}{2}\vec{BC}.\vec{BF}+\frac{1}{2}\vec{BC}.\vec{FG}+\frac{1}{2}\vec{BC}.\vec{GH}+\frac{1}{2}\vec{BF}.\vec{BF}+\frac{1}{2}\vec{BF}.\vec{FG}+\frac{1}{2}\vec{BF}.\vec{GH}

Sur ces neufs produits scalaires, 6 sont nuls et 3 s'exprime comme une fraction de + ou moins a² (a étant le côté du cube)

Posté par
Asap
re : Produit scalaire cube 30-01-12 à 18:00

Et si je ne me trompe pas on trouve en définitive -a²+(1/2)a²+(1/2)a² = 0, ce qui signifie que les vecteurs sont orthogonaux. Je te laisse, je dois m'absenter, si tu ne comprends toujours pas j'espère qu'une âme charitable passera par là.

Posté par
-sos-
re : Produit scalaire cube 30-01-12 à 18:06

Du coup je vois pas le rapport avec le développement de \vec{AJ} ou \vec{BJ} que tu m'avais proposé initialement?

Mais sinon j'ai bien compris tôn dernier calcul, je tombe sur 2a^2, juste?

Posté par
-sos-
re : Produit scalaire cube 30-01-12 à 18:23

Ah non, je trouve 0 finalement, problème de signe dans mon préédent calcul!
(Je veux bien savoir si tu as trouvé ça aussi, histoire de me rassurer)



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