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Niveau terminale
Produit scalaire dans l'espace
Posté par Maxoudu94
Bonjour, j'aurai besoin d'aide à propos d'un exercice dont voici l'énoncé :
On considère un cube ABCDEFGH d'arrête 1. Le nombre a désigne un réel strictement positif. On considère le point M de la demi-droite [AE) défini par (Vec)AM= (1/a)*(Vec)AE.
1) Déterminer le volume du tétraèdre ABDM en fonction de a.
Je trouve 1/6a .
2) Soit K le point du plan (BDM) défini par :
(Vec)BK = (a²/(a²+2))*(Vec)BM + (1/(a²+2))*(Vec)BD
Calculer (Vec)BK.(Vec)AM et (Vec)BK.(Vec)AD ; puis en déduire (Vec)BK.(Vec)MD=0
La je bloque. En vous remerciant...
bonjour
OK pour 1)
2) dans le repère orthonormal (A,AB,AD,AE) tu détermines les coordonnées des points et les composantes des vecteurs puis tu effectues tes calcules:
AM=(1/a)AE donc M(0,0,1/a)
BK = (a²/(a²+2))BM + (1/(a²+2))BD
donc
AK=AB+(a²/(a²+2))(BA+AM) + (1/(a²+2))(BA+AD)
=(1-a²/(2+a²)-1/(2+a²))AB+a/(2+a²)AE+1/(2+a²)AD
= (2+a²-a²-1)/(2+a²)AB+(1/(2+a²)AD+(a/(2+a²))AE
=(1/(2+a²))AB+(1/(2+a²)AD+(a/(2+a²))AE
donc K(1/(2+a²);1/(2+a²);a/(2+a²))
donc
BK=(-1-a²)/(2+a²)AB+1/(2+a²)AD+a/(2+a²)AE
AM=1/aAE
MD=AD-AM=AD-1/aAE
donc maintenant tu calcules les produits scalaires:
BK.AM=((-1-a²)/(2+a²))(0)+(1/(2+a²))(0)+(a/(2+a²))(1/a)=1/(2+a²)
tu fais de même pour les deux autres produits scalaires
Merci.
Du coup, j'ai réussi à déduire (Vec)BK.(Vec)MD=0
b) Démontrer que (vec)DK.(Vec)MB=0
Pouvez vous me donner une piste s'il vous plait?
C'est bon j'ai trouvé.
c) En déduire que K est l'orthocentre du triangle BDM.
Je vois comment faire, je voudrais seulement savoir si dans l'espace, si on a juste (Vec)BK.(Vec)MD=0 par exemple, alors obligatoirement (BK) est perpendiculaire à (MD) ?
bonjour
tu as montré que BK.MD=0 donc BK est perpendiculaire à MD donc BK est la hauteur de BDM issue de B et K est un point de cette hauteur
de même DK.MB=0 donc DK est perpendiculaire à MB donc DK est la hauteur de BDM issue de D et K est un point de cette hauteur
K appartient aux deux heteur DK et BK donc K est l'hortocentre de de BDM
D'accord merci.
3)a) Démontrer que (Vec)AK.(Vec)MD=0 et que (Vec)AK.(Vec)MB=0
Ca c'est fait.
b) En déduire que la droite (AK) est une hauteur du tétraèdre ABDM.
En fait, je vois pourquoi mais je ne sais pas comment le rédiger rigoureusement, pouvez-vous m'aider?
(Vec)AK.(Vec)MD=0
Donc (AK) orthogonal à (MD)
Et (Vec)AK.(Vec)MB=0
Donc (AK) orthogonal à (MB)
Or (MD) et (MB) appartiennent au plan (BDM)
Donc (AK) orthogonal à (BDM) et BDM une face du tétraèdre ABDM
Donc (AK) est une hauteur du tétrèdre ABDM
Voila, mais je pense qu'il n'y a pas tout les éléments qui permettent de conclure, non?