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Niveau terminale
Produit Scalaire dans l'espace
Posté par flo128
Bonjour à tous !
Je rame rame rame sur la dernière question de mon DM de maths alors je viens à vous car je vous pourrez m'aider.
L'espace est muni d'un repère orthonormal. On considère les ensembles
(S) d'équation (x-2)2+(y+3)2+(z-1)2=22
Et (P) 3x-6y+2z=0
2. Calculer la distance de 
(centre de la sphère) au plan P.
J'ai donc: d( : P)=26/7
4.Soit B le point de S dont la distance à P est la plus courte.
Donc j'ai fait: d( : P)-rayon= 12/7
5. Déterminer les coordonnées de B.
Alors c'est là que je bloque.
En appliquant la formule qui me donne la distance entre un point et un plan j'obtiens l'équation suivante:
3x-6y+2z=12
Ensuite je sais que B appartient à la sphère, donc je peux aussi utiliser l'équation suivante:
(x-2)2+(y+3)2+(z-1)2=22
Mais je ne peux pas résoudre un système comme ça (du moins je pense).
Alors j'ai essayé avec le projeté orthogonale de sur le plan P mais je n'arrive pas à trouver ces coordonnés non plus
Bref je compte sur vous
Merci beaucoup
vecteur directeur de la normale à un plan : voir ton cours
équation paramétrique d'une droite de l'espace : voir ton cours
intersection de la sphère et de cette droite : tu substitues les x, y, z par leur valeur paramétrée et tu résous l'équation du second degré qui te donne deux valeurs pour le paramètre.
Tu choisis celle qui te donne évidemment le point le plus proche du plan.
Je ne sais pas comment avoir l'équation paramétrique d'une droite de l'espace en connaissant sont vecteur directeur (celui qui est normal à P soit 
(3,-6,2)...
Tu peux m'aider s'il te plais?
Cette droite passe par le centre due la sphère (2, -3, 1), donc une équation paramétrique de cette droite est
Tu cherches le point d'intersection de cette droite et du plan : tu substitues dans l'équation du plan
Ok, et bien merci beaucoup mais je n'ai jamais vu cela donc c'est étrange que nous ayons eu ca a faire...
Bonne aprés-midi !!
C'est vrai... Mais bon vu que l'on a jamais vu les équations paramétriques... Je suis sceptique quand même !
Merci tout de même !
Alors il voulait peut-être vous voir les utiliser sans le dire :
B est un point de la droite passant par O(2,-3,1) et de vecteur directeur u(3,-6,2), donc les vecteurs OB et u sont colinéaires, donc il existe k tel que OB=k*u
et boum, tu retombes sur les équations paramétriques.
Tu vois qu'on peut résoudre le problème sans connaitre ce vocabulaire d'"équations paramétriques" d'une droite.
Par contre, je suis certain que tu as vu les équations paramétriques de la droite dans le plan !