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Produit scalaire dans l'espace

Posté par
Mthilde36 06-05-10 à 18:11

Bonjour,

Soit A et B deux points distincts de l'espace et M un point quelconque de l'espace.

1)Déterminer l'ensemble P2 des points M de l'espace vérifiant vecteur AM . vecteurAB = - AB²

2)a) Etablir que MA² = MB² équivaut à vect IM . vect AB=0
où I désigne le milieu du segment [AB]

b)Quel résultat sur l'ensemble des points de l'espace équidistants des points A et B retrouve t'on ainsi ?

Posté par
raymond Correcteurre : Produit scalaire dans l'espace 06-05-10 à 18:31

Bonsoir.

\textrm\vec{AM}.\vec{AB} = - AB^2

\textrm\vec{AM}.\vec{AB} + \vec{AB}.\vec{AB} = 0

\textrm (\vec{AM} + \vec{AB}).\vec{AB} = 0

Dans la parenthèse, introduis le point B' symétrique de B par rapport à A

Posté par
Mthilde36re 06-05-10 à 18:48

(AM + AB ) . AB =0

(AB'+B'M+AB'+BB') . AB =0
(2 AB'+B'M+B'B) . AB =0 ??

gras > vecteur ^^

Posté par
raymond Correcteurre : Produit scalaire dans l'espace 06-05-10 à 19:22

En vecteurs : 2AB' + B'B = 0

Posté par
Mthilde36re 06-05-10 à 19:31

Donc B'M.AB =0

P2 est la droite perpendiculaire à (AB) passant par B' ??

Posté par
raymond Correcteurre : Produit scalaire dans l'espace 06-05-10 à 19:36

Exactement.

Posté par
raymond Correcteurre : Produit scalaire dans l'espace 06-05-10 à 19:37

Désolé : si c'est dans l'espace, c'est le plan passant par B' et perpendiculaire à (AB).

Posté par
Mthilde36re 06-05-10 à 19:38

Ok pour la 2)

MA.MA = MB.MB ...

Posté par
raymond Correcteurre : Produit scalaire dans l'espace 06-05-10 à 19:46

Les vecteurs sont soulignés

2)a) Soit I le milieu du segment [AB]

MA² = MB² (MI + IA).(MI + IA) = (MI + IB).(MI + IB)

Développes et simplifie.

Posté par
Mthilde36re 06-05-10 à 19:58

Ok merci !

Posté par
Mthilde36re 06-05-10 à 20:03

IA² +2 MI.IA - 2 MI.IB- IB² =0 ??

Posté par
raymond Correcteurre : Produit scalaire dans l'espace 06-05-10 à 23:41

\textrm (\vec{MI} + \vec{IA})(\vec{MI} + \vec{IA}) = (\vec{MI} + \vec{IB})(\vec{MI} + \vec{IB})

\textrm MI^2 + 2\vec{MI}.\vec{IA} + IA^2 = MI^2 + 2\vec{MI}.\vec{IB} + IB^2

Comme IA² = IB², il ne reste que :

\textrm 2\vec{MI}.(\vec{IA} - \vec{IB}) = 0

Donc :

\textrm 2\vec{MI}.\vec{BA} = 0


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