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produit scalaire dans l'espace (dm)

Posté par koston59 (invité) 27-12-06 à 16:18

Bonjour a tous j'ai quelques problèmes quand a la résolution d'un exercice sur le produit scalaire dans l'espace.
je vous énonce le sujet:
on considére un cube ABCDEFGH d'arréte 1.Le nombre a désigne un réel strictement positif.
On considére le poin M de la demi droite [AE) défini par vecteur AM=1/a*VECTEUR AE
1) déterminer le volume du tétraédre ABDM en fonction de a.
2) Soit K le barycentre des point pondérés:
      {(M,a²);(B,1);(D,1}
a) exprimer vecteur BK en fonction des vecteurs BM et BD
b)calculer les produits scalaires suivant: BK.AM et BK.AD puis en déduire l'égalité BK.MD=0
c) Démontrer que le prduit scalaire  DK.MB  est nul
d) Démontrer que K est l'orthocentre du triagle BDM
3) Démontrer les égalités suivantes vecteur AK.MB=0 et AK.MD=0.Qu'en déduit on pour la droite (AK)?
4)a) Montrer que le triangle BDM  est isocéle et que son aire est égale a ((a²+2))/2a unité d'aire
b) déterminer le réel a tel que l'aire du triangle BDM soi égale a 1 unité d'aire.Déterminer la distance AK dans ce cas.
je vous donne la figure donnée dans mon énoncé
j'attends avec impatience votre aide
merci d'avance  An

produit scalaire dans l\'espace (dm)

Posté par
geo3
re : produit scalaire dans l'espace (dm) 27-12-06 à 21:05

Bonsoir
1.V=aireABD*AM/3 = (1.rac(2)/2).(1/a)/3 = rac(2)/(6a)
*
2. a²KM + KB + KD = 0  => a²KB + a²BM + KB + KB + BD = 0  => a²BM + BD = -( a²+1+1)KB
a)BK = a²BM/(a²+2)  +  BD/(a²+2)
b)BK.AM =  1/(a²+2)   par a) et   car AM.BM = MA.MB = MA.MA = 1/a² et AM.BD = 0 (orthog.)
BK.AD =  1/(a²+2) car BM.AD (orthog.) et BD.AD = DA.DB = DA.DA = 1
BK.MD = BK.(AD-AM) = BK.AD - BK.AM = 1/(a²+2) - 1/(a²+2)
c)DK.MB = je te le laisse

d)BK est perp. à MD et DK est perp. à MD  => K = orthocentre du triangle MBD
*
3.AK.MB = (AD+DK).MB = AD.MB + DK.MB = 0 + 0 car AD orthog. à MB et DK.MB = 0 par 2c)
AK.MD = (AB + BK).MD = 0 car AB orthog. à MD et 2b)
*
4.
a)triangle rect. MAB   =>  MB² =1/a² + 1 = (1+a²)/a² = MD² (triangle rect.MAD) par Pythagore
si I est le milieu de [DB]  MI est donc hauteur et on a MI² = MD² - DB²/4 = (1+a²)/a² -2/4 = (a²+2)/(2a²)  
=> aire = DB.MI/2 = rac(2).rac(a²+2)/(rac(2)a.2) = { rac(a²+2)}/(2a)
b)a = ?  a²+2 = 4a²  => a² = 2/3   => a = rac(2/3)
je te laisse
AK = ?? par le 1 avec le volume c'est 1 piste

A+

Posté par
geo3
re : produit scalaire dans l'espace (dm) 27-12-06 à 21:41

Rebonsoir
pour le 2c) je ne parviens pas à trouver 0 mais -(a²+1)/(a²+2)
par le 2) on avait a²KM + KB + KD = 0 => DK = a²KM + KB  =>
DK.MB =
(a²KM + KB).MB = (a²(KB+BM) + KB).MB = (a²KB + a²BM + KB).MB = -a²MB² + (a²+1)KB.MB = -a²MB² + (a²+1)a².MB²/(a²+2) = ( par 2a)) =  a²{- 1 + (a²+1)/(a²+2)}MB² = a²(-a²-2+a²+1)MB²/(a²+2)  =  -1(a²+1)/(a²+2)
(car MB² = (1/a² + 1) = (a²+1)/a²   ou a².MB² = a²+1 )

bizarre
où est l'erreur??
A+



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