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Niveau terminale
produit scalaire dans l'espace et barycentre
Posté par vandir
bonjour, j'ai un DM a faire sur le produit scalaire et j'aurai besoin de votre aide
on considère le plan P d'équation 2x+y-2z+4 = 0 et les points A de coordonée (3;2;6), B (1;2;4) et C(4;-2;5)
1)a) vérifier que les points A,B et C définissent un plan
b) vérifier que ce plan est P
je sais qu'il y a une propriété avec AM.n mais la on a que 3 point et pas de vecteur normal donc je voi pas comment faire ici
2)a)montrer que le triangle ABC est rectangle
j'ai calculé les coordonnées de AB(-2;0;-2) et BC(1;-4;-1) et j'ai calculé le produit scalaire:
AB.BC = (-2*1)+(0*-4)+(-2*-1) = -2 +0 +2 = 0 donc AB et BC sont orthogonaux donc ABC rectangle en B
b) soit K le projeté orthogonal de O sur le plan P, déterminer ses coordonées
j'ai pas trouvé
c)en déduire la distance OK et la retrouver en utilisant la formule donnant la distance d'un point a un plan
je sais pas
d) calculer le volume du tétraèdre OABC
je sais pas
3) on considère dans cette question le système de points pondérés S = {(0,3);(A,1);(B,1);(C,1)}
a) vérifier que ce système admet un barycentre G
b) on note I le centre de gravité de ABC. montrer que G appartient a (OI)
c) déterminer la distance de G au plan P
on a pas revu les barycentre cette année et j'ai jamais rien compris a ça
4) soit T l'ensemble des points M vérifiant
||3MO + MA + MB + MC||= 5
déterminer T. quelle est la nature de l'ensemble des points communs à P et T?
voila je galère un peu, j'espère que vous pourrez m'aider, merci d'avance.
Bonjour
1a)
A(3;2;6), B (1;2;4) et C(4;-2;5) : AB = (-2;0;-2) et AC = (-1;-4;-1) sont non multiples donc A,B et C ne sont pas alignés
Chaque point vérifie 2x+y-2z+4 = 0 pour A on a bien 6+2-12+4=0 et pour B on a 2+2-8+4 = 0 et pour C on a 8-2-10+4 = 0...ou le vecteur normal au plan (2;1;-2) est bien normal à AB car -4+0+4 = 0 et de même avec AC
2)Pour BC il y a 1 problème ??
Je dirais BC = (-3;-4;1)
Voilà pour commencer car je dois partir
A+
bonjour, j'ai pas compris l'explication pour la question 1)b)
sinon pour la 2 ta raison je me suis trompé ABC n'est pas rectangle en B mais en A car BA(2;0;2) et AC(1;-4;-1) donc BA.AC = 2*1 + 0*(-4) +2*(-1) = 2 +0 +(-2) = 0
Re
2)a)
AC = bien (1;-4;-1) et non comme j'ai écrit (-1;-4;-1) et donc le triangle est rectangle en A
*
Pour le 1b)comme les 3 points ne sont pas alignés et chaque point vérifie 2x+y-2z+4 = 0 c'est que l'équation du plan est bien 2x+y-2z+4 = 0
*
2b)OK a comme direction la direction normal du plan c-à-d (2;1;-2) comme ça passe par O c'est un multiple de (2;1;-2) c-à-d r(2;1;-2)=(2r;r;-2r) cherchons r pour que ce point(K) appartiennent à 2x+y-2z+4 = 0 donc 4r+r+4r + 4 = 0 => r = -4/9 => K=(-8/9;-4/9;8/9)
*
2c)distance OK = 
(64/81+16/81+64/81) = (144/81) = 12/9 = 4/3
la distance de (u;v;w) à ax+by+cz +d = 0 est donnée par la formule |au+bv+cw+d|/(a²+b²+c²)(***)
donc ici u=v=w=0 et a=2,b=1,c-2 on a 4/V9 = 4/3
*
2d)V = base*hauteur/3 =AB*(AC/2)*(OK/3) = 8*18*(4/3)/6 = 2.V2.3.V2*4/6 = 8
*
3a)
définition du barycentre =>
3GO + GA + GB + GC = 0 => 6GO + OA + OB + OC = 0 => 6OG = OA + OB + OC = (8;2;15) =>
G = (4/3;1/3;5/2)
b)
I =? soit M le milieu de BC M=(B+C)/2 = (5/2;0;9/2) AM = M-A = (5/2-3;0-2;9/2-6) = (-1/2;-2;-3/2)
or AI = 2AM/3 = (-1/3;-4/3;-1) or AI = OI -OA => OI = AI + OA = (-1/3;-4/3;-1) + (3;2;6) =
(8/3;2/3;5)
ou mieux I = (A+B+C)/3 =(8/3;2/3;15/3) =(8/3;2/3;5) et OI = 2OG
*3c)
d'après la formule (***)du 2c) |8/3+1/3-5|/3 = ...
a suivre
A+
Re
Je continue
la distance de G au plan P
d'après la formule (***)du 2c) |8/3+1/3-5+4|/3 = 2/3 = 0.6666
4)
soit T l'ensemble des points M vérifiant
||3MO + MA + MB + MC||= 5 => ||6MO+OA+OB+OC||=5 => ||6MO + 3OI|| = 5 => ||6MO+6OG|| = 5 => ||MO+OG|| = 5/6 => ||MG|| = 5/6 =>
lieu de M est une sphère centrée en G et de rayon (5/6) = 0.9128 > 0.6666
donc
quelle est la nature de l'ensemble des points communs à P et T? c'est un cercle
A+
dans la question 2)b) je comprend pas ce que tu veu dire par:
Citation :
OK a comme direction la direction normal du plan c-à-d (2;1;-2)
OK a comme direction la direction normal du plan c-à-d (2;1;-2)
comment t'a trouvé ça?
et aussi pour la question 3) je comprend pas comment tu passe de 3GO + GA + GB + GC = 0
à 6GO + OA + OB + OC = 0
je comprend pas non plus la question 3)b)
RE
2b)le plan a pour équation 2x+y-2z+4 = 0 et tu as dû voir dans la théorie que ( 2:1:-2) donne la direction perpendiculaire au plan P ; donc OK a cette direction puisque K est la projection de O sur P
3)""" je comprend(s) pas comment tu passe(s) de 3GO + GA + GB + GC = 0
à 6GO + OA + OB + OC = 0 """"
allons 3OG + GA +GB + GC = 0 par Chasles on a 3OG + GO + OA + GO + OB + GO + OC = 0 ....
A+
ok mais je comprend pas la suite de la question b avec le multiple
si OK(2;1;-2), O(0;0;0)et K (xK;yK,zK) alors OK (xK - 0; yK -0; zK-0) OK (xK; yK; zK) donc xK = 2, yK = 1 et zK =-2 donc K (2; 1; -2) non?
Re
Non K = bien (-8/9;-4/9;8/9) car c'est 1 multiple (qui est -4/9) de (2;1;-2)
et K est un point du plan P 2x+y-2z+4 = 0 car 2.(-8/9) -4/9 - 2.(8/9) + 4 = -36/9 + 4 = bien 0
A+
A+
désolé mais je comprend pas du tout
tu peu me réexpliquer en détail comment tu répond a cette question stp?
je comprend pas le truc du multiple et du r et je comprend pas non plus pourquoi c'est faux ce que j'ai trouvé pour K
Re
ton K n'est pas 1 point du plan or K est la projection de O sur ce plan
u = (2,1-2) est // à OK donc la coordonnée de OK est un multiple de u ( u = rOK)
voilà je ne peux faire plus ( revoir ta théorie)
A+
ok j'ai compris
sinon je pense que tu t'est trompé a la question 2)d) sur le volume:
dans le formule ta oublié de divisé par 3, enfin je pense parceque je trouve 8/3
et sinon la dernière question, comment tu sais que c'est un cercle?
si par exemple le plan ne coupe que la moitié de la sphère, l'ensemble des points commun a la sphère et au plan est un demi cercle, si cet ensemble est un cercle, ça veut dire que la sphère est entièrement coupé par le plan
comment on sais que par exemple il n'y a pas un bout de sphère qui n'est pas compris dans le plan P et que donc se soit un cercle dont il manque une partie?
RE
en effet pour le 2d) volume = 8/3 ( j'oublié de diviser par 3)
étant donnés 1 sphère et 1 plan
ou le plan ne coupe pas la sphère
ou le plan est tangent à la sphère
ou le plan coupe la sphère et alors cercle (grand cercle dans le ca
suite
ou le plan coupe la sphère et alors cercle (grand cercle dans le cas ou le plan passe par le centre de la sphère ; toujours 1 petit cercle dans les autres cas)
A+