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produit scalaire dans un cube

Posté par
sil2b 13-01-10 à 17:39

Bonjour, j'ai fait cet exo mais je penses avoir fait des erreurs. quelqu'un pourrait jetter un coup d'oeil. merci.

ABCDEFGH est le cube d'arete 1 (ABCD face du bas et EFGH face du haut)
L'espace est muni du repere orthonormal (A,AB,AD,AE)
On designe par "a" un reel strictement positif.
L,M et K sont les points definis par : (les segments sont des vecteurs)
AL=aAD , AM=aAB , CK=aCG.

1)a)calculer le produit scalaire EM.EL

b)en deduire la valeur ,en fonction de a, de cos (MÊL).

c)En deduire que sin (MÊL) = (a racine de (a²+2))/(1+a²)

d)calculer l'aire du triangle ELM

e)demontrer que la droite (AK) est orthogonale au plan (ELM)

2)on note P le projete orthogonal de A sur le plan (ELM)
a)demontrer que AM.AK=AP.AK

b)les vrecteurs AP et AK etant colineaires ,on note alpha le reel tel que AP= (alpha)*AK
Demontrer que alpha = a/(a²+2).
En deduire que P appartient au segment [AK].

c)determiner les coordonnees de P

d)Exprimer PK en fonction de AK
En deduire que PK=(a²-a+2)/racine de(a²+2)

3)à l'aide des questions précédentes, déterminer le volume du tétraèdre ELMK en fonction de a.

Posté par
sil2bre : produit scalaire dans un cube 13-01-10 à 17:40

voila ce que j'ai fait.

1)a) EM.EL = (EA + AM).(EA + AL)
= EA.EA + EA.AL + AM.EA + AM.AL
= 1 + 0 + 0 + 0
= 1

b) EM.EL = EM x EL x cos(EM ; EL)

or en appliquant le theoreme de Pythagore dans le triangle EAM rectangle en A on aura : EM2 = EA2 + AM2 = 1 + a2

de meme en appliquant le theoreme de Pythagore dans le triangle EAL rectangle en A on aura : EL2 = EA2 + AL2 = 1 + a2

Comme EM.EL = EM x EL x cos(EM ; EL)
donc 1 = (1 + a2)(1 + a2).cos(MEL)

Par suite cos(MEL) = 1/(1 + a2)2

c) comme cos2(MEL) + sin2(MEL) = 1
donc sin2(MEL) = 1 - 1/(1 + a2)2 = (a4 + 2a2 + 1 - 1)/(1 + a2)2 = (a4 + 2a2)/(1 + a2)2

alors sin(MEL) = rad [(a4 + 2a2)/(1 + a2)2] = a.rad[a2 + 2] / (1 + a2)

d) l'aire du triangle ELM = produit vectoriel de EM avec EL = EM . EL .sin(MEL) = (1 + a2).(1 + a2). a.rad[a2 + 2] / (1 + a2) = a(1 + a2).rad[a2 + 2] unite d'aire

e) Pour demontrer que la droite (AK) est orthogonale au plan (ELM)
il suffit de demontrer que la droite (AK) est orthogonale a (EM) et a (EL)

en effet : AK.EM = (AC + CK).(EA + AM)
= AC.EA + AC.AM + CK.EA + CK.AM
= 0 + rad(2).a.rad(2)/2 + a.1.(-1) + 0 = 0

donc (AK) est orthogonale a (EM)


de meme AK.EL = (AC + CK).(EA + AL)
= AC.EA + AC.AL + CK.EA + CK.AL
= 0 + rad(2).a.rad(2)/2 + a.1.(-1) + 0 = 0

donc (AK) est orthogonale a (EM)

par suite la droite (AK) est orthogonale au plan (ELM)

2)a) AM.AK = (AP + PM).AK = AP.AK + PM.AK = AP.AK car (PM) est prthogonale a (AK) (par hypothese)

b) On a AM.AK = AP.AK
or AM.AK = AM.(AB + BG + GK)
= AM.AB + AM.BG + AM.GK
= a.1.1 + 0 + 0 = a

comme AM.AK = AP.AK
donc AP.AK = a
alpha .(AK)2 = a
alpha = a / (AK)2

or AK2 = AB2 + BK2

avec BK2 = a2 + 1 (theoreme de Pythagore dans le triangle BCK rectangle en C)

donc AK2 = 1 + a2 + 1
= a2 + 2

d'ou alpha = a / (AK)2
= a /a2 + 2

comme 0 < a /a2 + 2 < 1 et AP = (alpha) x AK

donc P appartient au segment [AK].

c) AP = alpha AK
= alpha (AD + DC + CK)
= alpha(AD + AB + a.AE)

donc P(alpha ; alpha ; a.alpha) ou encore P(a / (a2 + 2) ; a / (a2 + 2) ; a2 / (a2 + 2))

d) PK = PA + AK = -alpha AK + AK = (1 - alpha)AK (egalite vectorielle)

donc PK = (1 - alpha)AK (egalite scaalaire en tant que segment)
PK = (1 - a / (a2 + 2)) . rad(a2 + 2)
= ((a2 - a + 2) / (a2 + 2)) . rad(a2 + 2)
= ((a2 - a + 2).rad(a2 + 2))


3) Le volume du tétraèdre ELMK = aire du triangle (ELM) . PK
= a(1 + a2).rad[a2 + 2].((a2 - a + 2).rad(a2 + 2)) unite de volume

Posté par
sil2bre : produit scalaire dans un cube 13-01-10 à 17:41

en cas d'erreur on pourrait reprendre question par question.

Posté par
cailloux Correcteurre : produit scalaire dans un cube 14-01-10 à 11:04

Bonjour,

1)a)b)c): oui.

1)d) Il manque un coefficient \frac{1}{2} et tu as une erreur: EM=EL=\sqrt{a^2+1}

\text{Aire }ELM=\frac{1}{2}EM.EL\,\sin\,\widehat{MEL}=\frac{a\sqrt{a^2+2}}{2}

1)e) Oui mais tu aurais pu passer en coordonnées; par exemple:

\vec{EM}(a,0,-1) et \vec{AK}(1,1,a)

d' où \vec{EM}.\vec{AK}=0

Je regarde la suite...

Posté par
cailloux Correcteurre : produit scalaire dans un cube 14-01-10 à 11:32

Je te propose autre chose pour la suite:

2)a) P est l' intersection de (AK) avec le plan ELM

De plus, (AK) est orthogonale à ce plan.

On en déduit que P est la projection orthogonale de M sur (AK)

Donc \vec{AM}.\vec{AK}=\vec{AP}.\vec{AK}

2)b) \vec{AP}=\alpha\,\vec{AK}

\vec{AM}.\vec{AK}=\alpha\,\vec{AK}^2=\alpha\,AK^2

\vec{AM}(a,0,0) , \vec{AK}(1,1,a) et \vec{AK}(1,1,a):

d' où a=\alpha\,(a^2+2)

et \alpha=\frac{a}{a^2+2}

2)c) Avec \vec{AK}(1,1,a) et \vec{AP}=\alpha\,\vec{AK}, on a immédiatement:

P\left(\frac{a}{a^2+2},\frac{a}{a^2+2},\frac{a^2}{a^2+2}\right)
2)d) Oui.

3) Avec l' erreur du 1) ton résultat est faux (et il y a aussi un coefficient \frac{1}{3} qui manque):

V=\frac{a(a^2-a+2)}{6} UV

Posté par
sil2bre : produit scalaire dans un cube 14-01-10 à 15:00

ok merci beaucoup

Posté par
sil2bre : produit scalaire dans un cube 14-01-10 à 16:17

1)d) je ne comprend ta correction, du moins le résultat que tu trouves

Posté par
sil2bre : produit scalaire dans un cube 14-01-10 à 16:47

finalement 1)b) cos (MÊl)= 1/(1+a²)  et non 1/(1+a²)²  ??

Posté par
sil2bre : produit scalaire dans un cube 14-01-10 à 16:52

question 1)d) c'est ok, j'ai compris.

après il faut vérifier la question 1)b). à mon avis la bonne réponse est cos (MÊl)= 1/(1+a²)  et non 1/(1+a²)²  ??

Posté par
cailloux Correcteurre : produit scalaire dans un cube 14-01-10 à 19:56

Oui, je l' avais loupé: \cos\,\widehat{MEL}=\frac{1}{a^2+1}

Posté par
sil2bre : produit scalaire dans un cube 14-01-10 à 20:05

ok. pour la question 1)e) il suffit juste de montrer que le produit AK.EM vaut 0 ou il faut aussi montrer que le produit scalaire AK.EL ?

Posté par
cailloux Correcteurre : produit scalaire dans un cube 14-01-10 à 20:28

Il faut les 2:

Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à 2 droites sécantes de ce plan

Posté par
sil2bre : produit scalaire dans un cube 18-01-10 à 19:51

bonjour, je voudrais reprendre l'exo depuis le début parce que je n'ai pas tout compris. est ce que quelqu'un pourrait m'aider? merci

Posté par
cailloux Correcteurre : produit scalaire dans un cube 18-01-10 à 21:31

Re,

Qu' est-ce que tu n' as pas compris ?

Posté par
sil2bre : produit scalaire dans un cube 18-01-10 à 21:38

1)d)le calcul de l'air du triangle ELM

Posté par
Quentho1611re : produit scalaire dans un cube 18-01-10 à 21:39

Bonsoir désolé d'interférer dans un topic qui n'est pas le mien mais s'il te plais cailloux j'aurais besoin d'aide pour un dm rapportant à une leçon pendant laquelle j'ai été absent ( double fracture du pied) je te serais très reconnaissant de m'aider quand tu en aura terminé avec sil2b

Posté par
cailloux Correcteurre : produit scalaire dans un cube 18-01-10 à 21:58

1)d) S=\frac{1}{2}\,EM.EL\,\sin\,\widehat{MEL}

or, \widehat{MEL} est aigu et:

\sin\,\widehat{MEL}=\sqrt{1-\cos^2\widehat{MEL}}=\sqrt{1-\frac{1}{(a^2+1)^2}}=\frac{a\sqrt{a^2+2}}{a^2+1}

EM=EL=\sqrt{a^2+1}

d' où S=\frac{a\sqrt{a^2+2}}{2}

Posté par
sil2bre : produit scalaire dans un cube 18-01-10 à 22:26

ok.

1)e) pour démontrer que la droite(AK)est orthogonale au plan(ELM) il faut que les produits scalaires suivants soient égal à 0 :

AK.EM et AK.EL ?

Posté par
cailloux Correcteurre : produit scalaire dans un cube 18-01-10 à 22:27

Oui.

Posté par
sil2bre : produit scalaire dans un cube 18-01-10 à 22:36

ok.

2)a) pourrais tu m'expliquer un peu plus en détail

Posté par
cailloux Correcteurre : produit scalaire dans un cube 18-01-10 à 22:50

P est le point d' intersection de la droite (AK) avec le plan (MEL)

De plus (AK) est orthogonale au plan (MEL)

Donc tout point du plan (MEL) se projette orthogonalement en P sur (AK) en particulier le point M se projette orthogonalement en P sur (AK)

Ainsi \vec{AM}.\vec{AK}=\vec{AP}.\vec{AK}


Posté par
sil2bre : produit scalaire dans un cube 18-01-10 à 22:54

on peut utiliser la relation de chasles?

Posté par
cailloux Correcteurre : produit scalaire dans un cube 18-01-10 à 23:02

Inutile:

Dans le plan:

Si \vec{v} est la projection orthogonale d' un vecteur \vec{w} sur \vec{u}:

\vec{u}.\vec{w}=\vec{u}.\vec{v}

C' est ce qui est utilisé ici dans le plan (AKM) où \vec{AP} est la projection orthogonale de \vec{AM} sur \vec{AK}.

Posté par
sil2bre : produit scalaire dans un cube 18-01-10 à 23:19

ok. AP est AK sont des vecteurs confondus?

Posté par
cailloux Correcteurre : produit scalaire dans un cube 19-01-10 à 09:56

L' adjectif confondu pour des vecteurs ne veut pas dire grand chose.

Les vecteurs \vec{AP} et \vec{AK} sont colinéaires.

Posté par
sil2bre : produit scalaire dans un cube 19-01-10 à 14:05

2)b) je ne comprend pas la 2ème égalité vectorielle que tu as écrite

Posté par
cailloux Correcteurre : produit scalaire dans un cube 19-01-10 à 18:25

Je suppose qu' il s' agit de ceci:

Citation :
\vec{AM}.\vec{AK}=\alpha\,\vec{AK}^2=\alpha\,AK^2


On a \vec{AM}.\vec{AK}=\vec{AP}.\vec{AK}

or, \vec{AP}=\alpha \,\vec{AK} alors...

Posté par
sil2bre : produit scalaire dans un cube 19-01-10 à 18:45

2)b) AM.AK=AP.AK
=AK.AK
=AK².

(1+1+a)²=0 ? on peut écrire comme ça

Posté par
cailloux Correcteurre : produit scalaire dans un cube 19-01-10 à 18:53

Citation :
(1+1+a)²=0 ?


Je ne vois pas d' où tu sors ça...

Posté par
sil2bre : produit scalaire dans un cube 19-01-10 à 19:00

vect. AK(1;1;a) donc vect.AK²(1;1;a²)

mais après, pour trouver , on fait comme ça:

(1+1+a²)=0
++a²=0
...
mais je ne trouve pas le bon résultat

Posté par
cailloux Correcteurre : produit scalaire dans un cube 19-01-10 à 19:22

AK^2=a^2+2

\vec{AM}.\vec{AK}=a

donc a=\alpha(a^2+2) et \alpha =\frac{a}{a^2+2}

Posté par
sil2bre : produit scalaire dans un cube 19-01-10 à 19:31

excuse moi mais AM.AK=a, comment on trouve ça ? de plus,je ne m'y retrouve pas dans tes symboles. pourrais tu écrire avec comme çà je verrais la différence avec a. merci

Posté par
cailloux Correcteurre : produit scalaire dans un cube 19-01-10 à 20:10

\vec{AM}\|a\\0\\0 \vec{AK}\|1\\1\\a

\vec{AM}.\vec{AK}=a\times 1+0\times 1+0\times a=a

Posté par
sil2bre : produit scalaire dans un cube 20-01-10 à 19:49

je reprend la question 2)b),

-AP=AK       AM(a;0;0)  AK(1;1;a)

-AM.AK=AP.AK

-AM.AK=a

-donc AP.AK=a

-comme AP=Ak alors :
AM.AK=AP.AK
=AK.AK
=AK²

-AK²=a
=a/AK²
=a/(1+1+a)²
=a/2+a²  

c'est correcte ?? (surtout la fin ?)

Posté par
cailloux Correcteurre : produit scalaire dans un cube 20-01-10 à 21:02

Il y a quelque chose qui ne va pas à la fin:

AK^2=1+1+a^2=a^2+2

et \lambda=\frac{a}{AK^2}=\frac{a}{a^2+2}

Posté par
sil2bre : produit scalaire dans un cube 20-01-10 à 21:22

oui j'ai oublié de mettre la parenthèse. et sinon, comment fait on pour montrer que p appartient au segment [AK] ?

Posté par
cailloux Correcteurre : produit scalaire dans un cube 20-01-10 à 21:41

Citation :
oui j'ai oublié de mettre la parenthèse.


il n' y a pas de parenthèse:

Citation :
=a/(1+1+a)²


Non: \lambda=\frac{a}{1+1+a^2}=\frac{a}{a^2+2}

Citation :
comment fait on pour montrer que p appartient au segment [AK] ?


\vec{AP}=\lambda \vec{AK}

Il suffit de montrer que pour tout a>0, 0\leq \lambda \leq 1

Posté par
sil2bre : produit scalaire dans un cube 20-01-10 à 22:23

comment faut il faire?

Posté par
cailloux Correcteurre : produit scalaire dans un cube 20-01-10 à 22:29

a^2-a+2>0 (discriminant négatif).

0<a<a^2+2

donc 0<\frac{a}{a^2+2}<1

Posté par
sil2bre : produit scalaire dans un cube 21-01-10 à 10:10

PK=PA+AK
=-AK+AK
=AK(-+1)

PK=[(-a/(a²+2))+1]AK
PK=[(a²-a+2)/(a²+2)]AK

||AK||=(a+2)

PK=[(a²-a+2)/( (a²+2)*(a²+2) ) ]*(a²+2)
PK=(a²-a+2)/(a²+2)

c'est correcte ?

Posté par
sil2bre : produit scalaire dans un cube 21-01-10 à 10:11

euh norme de AK c'est (a²+2)

Posté par
cailloux Correcteurre : produit scalaire dans un cube 21-01-10 à 10:59

C' est correct mais on peut un peu condenser:

\vec{PK}=(1-\lambda)\vec{AK}=\frac{a^2-a+2}{a^2+2}\vec{AK}

PK=\frac{a^2-a+2}{a^2+2}AK=\frac{a^2-a+2}{a^2+2}\sqrt{a^2+2}=\frac{a^2-a+2}{\sqrt{a^2+2}}

Posté par
sil2bre : produit scalaire dans un cube 21-01-10 à 15:29

ok.

3) pour la question 3) j'ai réussi à trouver le meme résultat que toi.

merci pour ton aide.


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