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Produit scalaire dans un tétraèdre

Posté par
dams73 30-09-10 à 22:04

Bonsoir, j'ai fais un exercice de géométrie et je voudrais juste une correction merci d'avance ^^

Enoncé : ABCD est un tétraèdre tel que AB=AC=AD=4 et BC=CD=DB=3
         I et J sont les milieux respectifs des arêtes [BC] et [CD].

a)Construire une figure (j'ai pris A comme sommet la base est le triangle équilatéral BCD)

b) Calculer vecteurs AB.AC : j'ai utiliser la formule : AB.AC = 1/2 (AB2+ AC2- BC2) j'ai trouvé = 11.5

c) Calculer les produits scalaires CA.CB et CA.CI. En déduire la longueur AI

CA.CB = 2 avec la même méthode
CA.CI = 4.5 avec la projection orthogonale de A sur BC (je ne suis pas sûr de ce résultat)

AI 3 (en utilisant le produit scalaire CA.CI avec la méthode)

D) Calculer AI.AJ
En utilisant la relation de Chasles j'ai trouvé environ 22 : voici mon calcul : (AC.AC) + (AC.CJ) + (CI.AC) + (CI.CJ)

En déduire l'arrondi au degré de l'angle IAJ (comment fait on les angles sur le site?)

Je n'ai pas encore cherché cette question mais je m'y mets ^^ merci pour vos éventuelles réponses

Posté par
dams73re : Produit scalaire dans un tétraèdre 30-09-10 à 22:32

j'ai trouvé environ 26° pour l'angle IAj

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 11:57

Bonjour,

b) OK

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 12:06

c) Pour ma part, je trouve 3$\fbox{\vec{CA}.\vec{CB}=\frac{9}{2}}

Puis :
3$\vec{CA}.\vec{CI} = \vec{CA}.\left(\frac{1}{2}\vec{CB}\right) = \frac{1}{2}\left(\vec{CA}.\vec{CB}\right)
3$\fbox{\vec{CA}.\vec{CI}=\frac{9}{4}}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 12:27

Or 3$\vec{CA}.\vec{CI} est aussi égal à 3$\frac{1}{2}\left(1,5^2+4^2-AI^2\right)

On en déduit 3$\fbox{AI=\frac{\sqrt{55}}{2}}

Ceci se confirme en calculant AI à l'aide du théorème de Pythagore dans le triangle AIC rectangle en I.

Posté par
dams73re : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 16:39

merci pour la réponse en effet je me suis trompé pour les produits scalaires du b) j'ai revérifié  

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 16:44

Je t'en prie.

Posté par
dams73re : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 19:16

Par contre j'ai un petit problème pour le produit scalaire AI.AJ j'ai décomposé comme avant mais je ne trouve pas le résultat (le prof nous a donné comme résultat 17.75) et je trouve environ 22.8

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 20:00

Montre tes calculs...

Posté par
dams73re : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 20:02

j'ai refais un autre calcul mais je trouve toujours un autre résultat :

Soit AI=AJ donc AJ.AI = 1/2(AI2+AJ2-IJ2) = 1/2(13.752+13.752-(3/2)2) = 1/225.25 = 12.625

need help en fait je voulais sur savoir pour la longueur IJ, elle est bien égal a 3/2? (théorème des milieux?)

Posté par
dams73re : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 20:05

Pour le calcul d'avant :

AI.AJ = (AC.AC) + (AC.CJ) + (CI.AC) + (CI.CJ) = 42 + 8 + 9/4 + 9/8 = 27.3   (j'ai remplacé le calcul faux du b))

Posté par
dams73re : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 20:06

le CI.AC = AC.CI mais alors = -9/4?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 20:08

Pourquoi AC.CJ = 8 ?

Posté par
dams73re : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 20:12

AC.CJ = 1/2(AC2+CJ2-CJ2) = 1/242=8

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 20:13

Pourquoi -CJ² ?

Posté par
dams73re : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 20:31

La formule exemple : AB.AC = 1/2 (AB2+AC2-BC2)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 20:37

Oui.

Elle ne donne donc pas AC.CJ = 1/2(AC²+CJ²-CJ²)

Posté par
dams73re : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 20:40

Ah?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 20:42

Oh.

Posté par
dams73re : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 20:43

si on fait AC.CJ = AC.-JC = 1/2(-CA2-JC2+AC2) ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 20:45

Absolument pas.

La formule AB.AC = 1/2 (AB²+AC²-BC²) est bonne.

Applique-la en remplaçant les lettres correctement.

Posté par
dams73re : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 20:49

AI.AJ = (AC+CI) . (AC+CJ) = (AC.AC) + (AC.CJ) + (CI.AC) + (CI.CJ) = 16 + .... + 9/4 + 9/8

AC.CJ = 1/2 (AC2+CJ2-AJ2) ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 20:50

Citation :
AC.CJ = 1/2 (AC²+CJ²-AJ²) ?

Oui.

Posté par
dams73re : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 20:53

AJ = AI  mais ce qui me gène c'est le CI.AC normalement u.v = v.u donc il reste égal à 9/4?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 20:54

AC.CI n'est pas égal à 9/4

Posté par
dams73re : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 20:56

AH ba oui j'ai juste à réappliquer la formule

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 20:58

Remarque plutôt que AC.CI = -CA.CI que tu connais déjà.

Posté par
dams73re : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 21:00

donc -CA.CI = -9/4 ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 21:02

Pourquoi "donc" ?
Tu as montré que CA.CI = 9/4
Donc, oui, bien sûr, -CA.CI = -9/4

Si x = 9/4, -x = -9/4

Posté par
dams73re : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 21:05

je suis nul en produit scalaire voila pourquoi

Posté par
dams73re : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 21:10

Au final j'ai ce calcul : 16 + 2.25 - 9/4 + 9/8 = 17.125 --"

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 21:19

3$\vec{AI}.\vec{AJ} = \frac{1}{2}\left(\vec{AB}+\vec{AC}\right) \,.\, \frac{1}{2}\left(\vec{AC}+\vec{AD}\right)

3$\vec{AI}.\vec{AJ} = \frac{1}{4}\vec{AB}.\vec{AC} + \frac{1}{4}\vec{AB}.\vec{AD} + \frac{1}{4}AC^2 + \frac{1}{4}\vec{AC}.\vec{AD}

Or, par symétrie, 3$\vec{AB}.\vec{AC} = \vec{AB}.\vec{AD} = \vec{AC}.\vec{AD}. Donc :

3$\vec{AI}.\vec{AJ} = \frac{3}{4}\vec{AB}.\vec{AC}+ \frac{1}{4}AC^2

3$\vec{AI}.\vec{AJ} = \frac{3}{4}\times\frac{23}{2}+ \frac{1}{4}4^2

3$\vec{AI}.\vec{AJ} = 12,625

Sauf erreur !

Posté par
dams73re : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 21:22

eu j'aimerais surtout d'après la formule que j'ai utilisée ^^ elle n'est pas bonne?

Posté par
dams73re : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 21:24

je vais juste mettre les résultats de mes produits scalaire

AC.AC = 16

AC.CJ = 2.25

CI.AC = -9/4

CI.CJ = 9/8

Posté par
dams73re : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 21:32

En regardant ton calcul il y a un truc qui me dérange c'est au niveau de la symétrie comment AB.AC = AB.AD ? il n'y a pas le même angle sinon AB.AC = AC.AD la je comprends

Posté par
dams73re : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 21:37

en fait c'est bon j'ai rien dit mais pourquoi nos résultats ne sont pas cohérents?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 21:37

AC.CJ ne peut pas être positif
Sinon, les autres me semblent bons.

Posté par
dams73re : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 21:43

détail : AC.CJ = 1/2(AC2+CJ2-AJ2) = 1/2 (16 + 9/4 - 13.75) c'est ce que j'ai mais c'est faux car positif (en regardant la figure il doit être négatif oui)

Posté par
dams73re : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 21:45

c'est bon en fait le résultat est -2.25

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 21:45

Tu n'as pas le droit d'appliquer la formule à AC.CJ
Mais tu peux l'appliquer CA.CJ
La première lettre des deux vecteurs doit être la même.
Cf. le cours.

Posté par
dams73re : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 21:52

je comprends rien AC.CJ = CA.CJ ou -CA.CJ ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 21:54

La réponse est dans le cours.
AC.CJ = (-CA).CJ = -(CA.CJ)

Posté par
dams73re : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 21:58

oui désolé pour le manque de culture maths

Posté par
dams73re : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 22:04

Pour l'angle j'ai trouvé 23° et j'en suis sûr ^^ merci pour l'aide c'était sympa de prêter autant d'attention à bientôt

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Produit scalaire dans un tétraèdre 01-10-10 à 22:20

AC.AC = 16

AC.CJ = AC.CI = -9/4

CI.AC = -9/4

CI.CJ = 9/8

TOTAL : 12,625

Posté par
kevin73re : Produit scalaire dans un tétraèdre 02-10-10 à 21:16

ouai ben finalemen la prof a-t-elle tord ?
g refait aussi les calculs et je trouve aussi 12.625
bizzard...:s

Posté par
kevin73re : Produit scalaire dans un tétraèdre 02-10-10 à 21:25

j'ai fait comme ceci:
AI=AJ=55/2
puis AI.AJ=1/2(AI²+AJ²-IJ²)
          =1/2(55/4+55/4-9/4)
          =1/2(101/4)
          =12.625
tu as raison pour IJ g utilisé Al-Kashi et g bien IJ=3/2

Posté par
kevin73re : Produit scalaire dans un tétraèdre 02-10-10 à 21:37

et en + je trouve 23° pour l'angle IAJ en faisant Al-Kashi et autres calculs
pour moi nos resultats sont formels

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Produit scalaire dans un tétraèdre 03-10-10 à 10:09

Citation :
tu as raison pour IJ g utilisé Al-Kashi et g bien IJ=3/2

Thalès suffit

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Produit scalaire dans un tétraèdre 03-10-10 à 10:14

Et je trouve aussi 23°

1 2 +


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