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Produit scalaire de matrice et application lipschitzienne

Posté par
romch007
18-02-23 à 17:43

Bonjour à tous, je bloque sur la question (b) de cet exercice:

\R^3 étant muni du produit scalaire usuel (noté (\, \cdot | \cdot \,)), on considère l'application suivante:


 \\ \phi: \mathcal{M}_3 (\R)^2 \to \R
 \\ tel que \forall M, P \in \mathcal{M}_3 (\R), \quad \phi(M, P) = tr{(~^t M P)}

(a) Montrer que \phi est un produit scalaire. On note aussi || \cdot || la norme euclidienne associée \phi.
(b) Soit f \in \mathcal{L}(\R^3) et A = Mat_{\mathcal{B}} (f)\mathcal{B} est la base canonique de \R^3. Montrer que f est ||A||-lipschitzienne.
(c) Soit \lambda \in \R. Déduire que si \lambda est une valeur propre de f alors |\lambda| \leq ||A||

J'ai bien réussi la question (a) mais je bloque complètement sur la (b).  Ma première intention était d'utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz  mais cela ne me mène à rien. Quelqu'un aurait-il une piste de résolution ?

Posté par
matheux14
re : Produit scalaire de matrice et application lipschitzienne 18-02-23 à 19:24

Bonsoir,

Pour la question b) on a la même en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz. En effet, pour tout vecteur u=(u_1,u_2,u_3) et v=(v_1,v_2,v_3) de \mathbb{R}^3, on a

|f(u)-f(v)| = |A(u-v)|

\leq ||A|| \cdot ||u-v||

= ||A|| \cdot \sqrt{(u-v|u-v)}

= ||A|| \cdot \sqrt{(u|u) - 2(u|v) + (v|v)}

\leq ||A|| \cdot \sqrt{(u|u)} + ||A|| \cdot \sqrt{(v|v)}

= 2 ||A|| \cdot ||u||

Dans la quatrième ligne, on a utilisé la propriété de la norme associée à un produit scalaire que ||(u-v)||^2 = (u-v|u-v) = (u|u) - 2(u|v) + (v|v). Dans la dernière ligne, on a utilisé le fait que ||u|| = \sqrt{(u|u)} et ||v|| = \sqrt{(v|v)}. Ainsi, on a montré que |f(u)-f(v)| \leq 2 ||A|| \cdot ||u|| pour tout u,v \in \mathbb{R}^3, ce qui implique que f est 2 ||A||-Lipschitzienne.

Posté par
romch007
re : Produit scalaire de matrice et application lipschitzienne 18-02-23 à 19:44

Merci pour tout ta réponse ! J'ai quelques questions:
Premièrement, comment est-ce que tu arrives à prouver que |A(u-v)| \leq ||A||\cdot||u-v|| ?

Deuxième, la définition d'une application k-lipschitzienne dans le cas de cette exercice est |f(u) - f(v)| \leq k \cdot ||u-v|| et non |f(u) - f(v)| \leq k \cdot ||u||. Si l'inégalité |A(u-v)| \leq ||A||\cdot||u-v|| est vérifiée alors \phi est bien ||A||-lipschitzienne. Or tu cherches à montrer que f est 2 ||A||-lipschitzienne, ce qui ne répond pas à la question (b).

Posté par
matheux14
re : Produit scalaire de matrice et application lipschitzienne 18-02-23 à 19:55

J'ai quelques erreurs de calculs dans mon premier post..

|f(u) - f(v)| = |A(u) - A(v)|

= |A(u-v)|

= |(u-v)^T A^T| \qquad (\text{en utilisant la définition de } A)

= |(A^T)^T(u-v)|

= |(A^T)(u-v)|

\leq ||A^T|| \cdot ||u-v|| \qquad (\text{en utilisant la définition de } ||\cdot||)

= ||A|| \cdot ||u-v|| \qquad (\text{en utilisant la propriété } ||A^T|| = ||A||)

où la dernière inégalité découle de l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée au produit scalaire usuel de \mathbb{R}^3.

Ainsi, on a montré que |f(u) - f(v)| \leq ||A|| \cdot ||u-v|| pour tout u, v \in \mathbb{R}^3, ce qui implique que f est ||A||-Lipschitzienne.

Posté par
matheux14
re : Produit scalaire de matrice et application lipschitzienne 18-02-23 à 20:04

Peux tu montrer que \|A^T\| = \|A\| ?

Sinon f\in\mathcal{L}(\R^3) et A=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)\mathcal{B} est la base canonique de \R^3. Soit u, v\in\R^3. Alors on a

\|f(u) - f(v)\|  = \|Au - Av\| = ... qu'on peut essayer de majorer en utilisant l'inégalité triangulaire et la définition de la norme euclidienne..

Posté par
romch007
re : Produit scalaire de matrice et application lipschitzienne 18-02-23 à 20:09

Je ne comprends pas comment passer de |(A^T)^T (u - v)| à |(A^T)(u - v)| et comment passer de |(A^T)(u - v)| à ||A|| \cdot |u - v|

Posté par
matheux14
re : Produit scalaire de matrice et application lipschitzienne 18-02-23 à 20:20

On a (A^T)^T = A, donc (A^T)^T(u-v) = Au - Av et (A^T)(u-v) = A^T(u-v). En général, le produit matrice-vecteur A^T(u-v) ne donne pas le même résultat que le produit (A^T)^T(u-v), car la transposition d'une matrice peut changer l'ordre des termes dans la multiplication. Cependant, dans le cas présent, on a (A^T)^T = A, donc (A^T)^T(u-v) = Au - Av et (A^T)(u-v) = A^T(u-v) = (Au)^T - (Av)^T = u^TA^T - v^TA^T. Donc, on a bien |(A^T)^T(u-v)| = |Au - Av| et |(A^T)(u-v)| = |u^TA^T - v^TA^T|, mais comme u^TA^T et v^TA^T sont des scalaires, on a |u^TA^T - v^TA^T| = |(u^TA^T - v^TA^T)^T| = |(A^T(u-v))^T| = |A^T(u-v)|. Finalement, on a bien |(A^T)^T(u-v)| = |Au - Av| = |A^T(u-v)|.

Posté par
Ulmiere
re : Produit scalaire de matrice et application lipschitzienne 18-02-23 à 20:42

Ca ne vas pas matheux14, tu pars de ce que tu veux démontrer en décrétant que la norme d'opérateur est une norme d'algèbres dans ta première égalité.

Il est également inutile de développer \lVert u - v\rVert puisque l'inégalité triangulaire donne directement \lVert u - v\rVert \leqslant \lVert u \rVert + \lVert v\rVert !

Et enfin, ça ne montre que la 2\lVert A\rVert lipschitzité, ce qui est plus faible que la \lVert A\rVert lipschitzité demandée

Posté par
Ulmiere
re : Produit scalaire de matrice et application lipschitzienne 18-02-23 à 20:46

Ah et en plus la preuve de la 2A-lipschitzité est fausse, puisqu'on a seulement |f(u)-f(v)|\leqslant 2A\max(|u|,|v|).
Ceci étant f est linéaire, donc tu as du pot, tu peux prendre v = 0 sans perte de généralité et ça te donnerait directement la A-lipschitzité

Posté par
matheux14
re : Produit scalaire de matrice et application lipschitzienne 18-02-23 à 20:52

Ulmiere, je m'en suis rendu compte à 19:55.. Mais là encore, un peu de doute..

Et il me semble aussi que |Au - Av| = \sqrt{(u-v|A^TA(u-v))}

= \sqrt{\sum_{i,j=1}^3 A_{i,j}^2(u_i-v_i)(u_j-v_j)}

\leq \sqrt{\sum_{i,j=1}^3 A_{i,j}^2(u_i-v_i)^2}\sqrt{\sum_{i,j=1}^3 (u_j-v_j)^2}

= \left(\sqrt{\sum_{i,j=1}^3 A_{i,j}^2(u_i-v_i)^2}\right)|u-v|

Mais alors \sqrt{\sum_{i,j=1}^3 A_{i,j}^2(u_i-v_i)^2} serait la norme de A.

Pourriez vous nous éclaircir un peu ?

Posté par
matheux14
re : Produit scalaire de matrice et application lipschitzienne 18-02-23 à 20:55

Ulmiere @ 18-02-2023 à 20:46

Ah et en plus la preuve de la 2A-lipschitzité est fausse, puisqu'on a seulement |f(u)-f(v)|\leqslant 2A\max(|u|,|v|).
Ceci étant f est linéaire, donc tu as du pot, tu peux prendre v = 0 sans perte de généralité et ça te donnerait directement la A-lipschitzité


Bon ben j'y vais alors

Posté par
matheux14
re : Produit scalaire de matrice et application lipschitzienne 18-02-23 à 21:06

Comme suggéré, on peut supposer sans perte de généralité que v = 0, car sinon on peut toujours remplacer f par f - f(0). Ainsi, on a pour tout u \in \mathbb{R}^3,

|f(u)| = |Au| 
 \\ 
 \\ \leq |A| |u| \quad \text{(par définition de la norme opérateur)}.

Maintenant, soit u, v \in \mathbb{R}^3, on a

|f(u) - f(v)|= |A(u-v)|

\leq |A| |u-v| \quad \text{(par définition de la norme opérateur)}.

Ainsi, f est bien \|A\|-lipschitzienne.

Posté par
Ulmiere
re : Produit scalaire de matrice et application lipschitzienne 19-02-23 à 12:29

Voici quelques rappels de cours qui seront bienvenus. Soit f une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimension finie E et F. Soit B = (e_1,\cdots,e_m) une base de E. Soit C = (f_1,\cdots, f_n) une base de F.

La matrice de f dans les bases B (au départ) et C (à l'arrivée) est la matrice dont la j-ème colonne est f(e_j) exprimé comme combinaison linéaire de vecteurs de la base C.
Si B' est une autre base de E, la matrice de passage de B vers B' est la matrice qui transforme un vecteur exprimé  dans la base B' en un vecteur exprimé dans la base B. C'est aussi la matrice dont les colonnes sont les vecteurs de B' eux-mêmes, exprimés dans la base B. Et aussi la matrice de l'(unique) isomorphisme qui envoie e_i sur f_i pour tout i.

Si B et C sont fixées, l'application qui envoie une application linéaire f\in L(E,F) sur sa matrice dans les bases B et C est un isomorphisme d'espaces vectoriels entre L(E,F) et M_{n,m}(K).

Soient B' et C' sont deux autres bases, respectivement de E et de F. Notons P la matrice de passage de B vers B', et Q la matrice de passage de C vers C'. Alors on a la relation

Mat_{B',C'}(f) = Q^{-1}Mat_{B,C}(f)P.

Pour le retenir, c'est assez simple. B' est envoyée sur B via P. Puis B sur C via Mat_{B,C}(f), et enfin C sur C' via Q^{-1}


--------------

Revenons à l'exercice. Ici B et B' sont une seule et même base, la base canonique de \R^3. En particulier, P est l'identité (ou, ce qui est équivalent, la matrice du morphisme d'application en un vecteur x\in\R^3 dans la base canonique est X\in M_{3,1}(\R)).
La première colonne de A est f(e_1), la deuxième est f(e_2), la troisième est f(e_3)
Donc si x = (x_1,x_2,x_3), f(x) = AX = \begin{pmatrix}f(e_1)_1 & f(e_2)_1 & f(e_3)_1\\ f(e_1)_2 & f(e_2)_2 & f(e_3)_3\\ f(e_1)_3 & f(e_2)_3 & f(e_3)_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}.

L'erreur que tu fais est d'affirmer sans preuve que |f(x)| \leqslant \lVert A\rVert |x|. Cette inégalité est triviale quand \lVert\cdot\rVert est la norme d'opérateur définie en termes de sup. Mais ici, ce n'est pas cette norme mais une autre a priori, qui est issue du produit scalaire \phi !!!

\lVert A\rVert^2 = \phi(A,A) = Tr(A^TA) = \sum_{i=1}^3 (A^TA)_{i,i} = \sum_{i=1}^3 \sum_{k=1}^3 (A^T)_{i,k}A_{k,i} = \sum_{i=1}^3 \sum_{k=1}^3 A_{k,i}^3.

La norme au carré n'est rien d'autre que la somme des carrés des coefficients de A, dans n'importe quelle base. Le fait que ça ne dépende pas de la base découle directement de la définition en termes de trace, intrinsèque.


Si on revient à notre petit calcul, la norme au carré de A dans notre cas est aussi (par commutativité de l'addition) |f(e_1)|^2 + |f(e_2)|^2 + |f(e_3)|^2. Si j'appelle u le vecteur (|f(e_1)|, |f(e_2)|, |f(e_3)|)\in\R^3, ça veut dire que \lVert A\rVert = |u|, où u est la norme euclidienne usuelle de \R^3.

Il se trouve que |f(x)| = |x_1f(e_1) + x_2f(e_2) + x_3f(e_3)| \leqslant |x_1||f(e_1)| + |x_2||f(e_2)| + |x_3||f(e_3)| (inégalité triangulaire) est aussi le produit scalaire (usuel de  \R^3) de y = (|x_1|,|x_2|,|x_3|)\in\R^3 et de u.
L'inégalité de CS nous dit alors que |f(x)|\leqslant |(u|y)| \leqslant |u| |v| = \lVert A\rVert |y| = \lVert A\rVert |x|, et c'est tout.


Ca fait beaucoup de mots pour dire quelque chose de simple, mais j'espère que c'est clair maintenant. Le coeur de la question, c'est de comprendre ce qu'est \phi(A,A)

Posté par
Ulmiere
re : Produit scalaire de matrice et application lipschitzienne 19-02-23 à 12:37

Corerction de petites coquilles sans gravité

* qui envoie f_i sur e_i

* X\in M_{3,1}(K) a bien sûr les x_i pour coordonnées dans la base canonique de M_{3,1}(K)

* c'est A_{k,i}^2 et pas A_{k,i}^3 dans le calcul de \phi(A,A)

* oublié les balises tex : \lVert A\rVert = |u|

* |(u,y)| \leqslant |u||y|, un v s'était glissé dans mon équation



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