Bonjour à tous, je bloque sur la question (b) de cet exercice:
étant muni du produit scalaire usuel (noté ), on considère l'application suivante:
tel que
(a) Montrer que est un produit scalaire. On note aussi la norme euclidienne associée .
(b) Soit et où est la base canonique de . Montrer que est -lipschitzienne.
(c) Soit . Déduire que si est une valeur propre de alors
J'ai bien réussi la question (a) mais je bloque complètement sur la (b). Ma première intention était d'utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz mais cela ne me mène à rien. Quelqu'un aurait-il une piste de résolution ?
Bonsoir,
Pour la question b) on a la même en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz. En effet, pour tout vecteur et de , on a
Dans la quatrième ligne, on a utilisé la propriété de la norme associée à un produit scalaire que . Dans la dernière ligne, on a utilisé le fait que et . Ainsi, on a montré que pour tout , ce qui implique que est -Lipschitzienne.
Merci pour tout ta réponse ! J'ai quelques questions:
Premièrement, comment est-ce que tu arrives à prouver que ?
Deuxième, la définition d'une application k-lipschitzienne dans le cas de cette exercice est et non . Si l'inégalité est vérifiée alors est bien -lipschitzienne. Or tu cherches à montrer que est -lipschitzienne, ce qui ne répond pas à la question (b).
J'ai quelques erreurs de calculs dans mon premier post..
où la dernière inégalité découle de l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée au produit scalaire usuel de .
Ainsi, on a montré que pour tout , ce qui implique que est -Lipschitzienne.
Peux tu montrer que ?
Sinon et où est la base canonique de . Soit . Alors on a
qu'on peut essayer de majorer en utilisant l'inégalité triangulaire et la définition de la norme euclidienne..
On a , donc et . En général, le produit matrice-vecteur ne donne pas le même résultat que le produit , car la transposition d'une matrice peut changer l'ordre des termes dans la multiplication. Cependant, dans le cas présent, on a , donc et . Donc, on a bien et , mais comme et sont des scalaires, on a . Finalement, on a bien .
Ca ne vas pas matheux14, tu pars de ce que tu veux démontrer en décrétant que la norme d'opérateur est une norme d'algèbres dans ta première égalité.
Il est également inutile de développer puisque l'inégalité triangulaire donne directement !
Et enfin, ça ne montre que la lipschitzité, ce qui est plus faible que la lipschitzité demandée
Ah et en plus la preuve de la 2A-lipschitzité est fausse, puisqu'on a seulement .
Ceci étant f est linéaire, donc tu as du pot, tu peux prendre v = 0 sans perte de généralité et ça te donnerait directement la A-lipschitzité
Ulmiere, je m'en suis rendu compte à 19:55.. Mais là encore, un peu de doute..
Et il me semble aussi que
Mais alors serait la norme de .
Pourriez vous nous éclaircir un peu ?
Comme suggéré, on peut supposer sans perte de généralité que , car sinon on peut toujours remplacer par . Ainsi, on a pour tout ,
Maintenant, soit , on a
Ainsi, est bien -lipschitzienne.
Voici quelques rappels de cours qui seront bienvenus. Soit f une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimension finie E et F. Soit une base de E. Soit une base de F.
La matrice de f dans les bases B (au départ) et C (à l'arrivée) est la matrice dont la j-ème colonne est exprimé comme combinaison linéaire de vecteurs de la base C.
Si B' est une autre base de E, la matrice de passage de B vers B' est la matrice qui transforme un vecteur exprimé dans la base B' en un vecteur exprimé dans la base B. C'est aussi la matrice dont les colonnes sont les vecteurs de B' eux-mêmes, exprimés dans la base B. Et aussi la matrice de l'(unique) isomorphisme qui envoie sur pour tout i.
Si B et C sont fixées, l'application qui envoie une application linéaire sur sa matrice dans les bases B et C est un isomorphisme d'espaces vectoriels entre et .
Soient B' et C' sont deux autres bases, respectivement de E et de F. Notons P la matrice de passage de B vers B', et Q la matrice de passage de C vers C'. Alors on a la relation
.
Pour le retenir, c'est assez simple. B' est envoyée sur B via P. Puis B sur C via , et enfin C sur C' via
--------------
Revenons à l'exercice. Ici B et B' sont une seule et même base, la base canonique de . En particulier, P est l'identité (ou, ce qui est équivalent, la matrice du morphisme d'application en un vecteur dans la base canonique est ).
La première colonne de A est , la deuxième est , la troisième est
Donc si , .
L'erreur que tu fais est d'affirmer sans preuve que . Cette inégalité est triviale quand est la norme d'opérateur définie en termes de sup. Mais ici, ce n'est pas cette norme mais une autre a priori, qui est issue du produit scalaire !!!
.
La norme au carré n'est rien d'autre que la somme des carrés des coefficients de A, dans n'importe quelle base. Le fait que ça ne dépende pas de la base découle directement de la définition en termes de trace, intrinsèque.
Si on revient à notre petit calcul, la norme au carré de A dans notre cas est aussi (par commutativité de l'addition) . Si j'appelle le vecteur , ça veut dire que \lVert A\rVert = |u|, où u est la norme euclidienne usuelle de .
Il se trouve que (inégalité triangulaire) est aussi le produit scalaire (usuel de ) de et de .
L'inégalité de CS nous dit alors que , et c'est tout.
Ca fait beaucoup de mots pour dire quelque chose de simple, mais j'espère que c'est clair maintenant. Le coeur de la question, c'est de comprendre ce qu'est
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