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Niveau terminale
Produit scalaire et barycentre
Posté par Sn4k3
Bonjour,
j'aimerais un peu d'aide sur un exercice où je bloque.
Voici l'énoncé et ce que j'ai déjà trouvé.
On considère dans le plan un triangle ABC tel que AB = 7, BC = 4, AC = 5 (unité graphique : 1cm).
Soit I le milieu de [BC].
1. En admettant le théorème de la médiane qui dit que AB²+AC²=2AI²+(BC²/2) montrer que AI = √33.
=> 1/2[AB²+AC²-(BC²/2)] = AI²
1/2[7² + 5² - (4²/2) = AI²
AI² = 33
AI = √33.
2. Soit E1 l'ensemble des points M du plan tels que -2MA²+MB²+MC² = -58.
a) Montrer que I appartient à E1.
=> Faut-il introduire le point I avec la relation de Chasles ?
-2(MI+IA)²+(MI+IB)²+(MI+IC)² = -58
-2(MI²+2MI.IA+IA²)+(MI²+2MI.IB+IB²)+(MI²+2MI.IC+IC²) = -58 ...
b) Montrer que -2MA²+MB²+MC² = -4MI.IA - 58.
=> Je ne peux pas encore répondre.
c) Déterminer l'ensemble E1 et le tracer.
3. Soit D le barycentre du système de points pondérés {(A;1);(B;1);(C;1)}.
a) Déterminer la nature du quadrilatère ABCD.
b) On désigne par M un point quelconque du plan. On pose vecU = -2vecMA + vecMB + vecMC.
Montrer que vecU = vecAD puis déterminer et construire l'ensemble E2 des points M du plan tels que ||-vecMA+vecMB+vecMC|| = ||vecU||.
2. Soit E1 l'ensemble des points M du plan tels que -2MA²+MB²+MC² = -58.
a) Montrer que I appartient à E1.
I appartient à E1
--------- on remplace M par I dans la relation
<=> -2IA²+IB²+IC² = -58
<=> ........ à remplacer par leur valeur
b) Montrer que -2MA²+MB²+MC² = -4MI.IA - 58.
-2MA²+MB²+MC²
= - 2 (MI +IA)² + (MI + IB)² + (MI + IC)²
= ............. développe et simplfie
...
-2MA²+MB²+MC²
= - 2(MI +IA)² + (MI + IB)² + (MI + IC)²
= -2(MI²+2MI.IA+IA²) + (MI²+2MI.IB+IB²) + (MI²+2MI.IC+IC²)
= -2MI² -4MI.IA - 2IA² + MI² + 2MI.IB + IB² + MI² + 2MI.IC + IC²
= -4MI.IA - 2IA² + 2MI.IB + IB² + 2MI.IC + IC²
après je fais comment pour trouver -4MI.IA - 58 ? 
-4MI.IA - 2IA² + 2MI.IB + IB² + 2MI.IC + IC²
--------- factorise 2MI dans : (-4MI.IA + 2MI.IB + 2MI.IC)
--------- remplace (- 2IA² + IB²+ IC²) par sa valeur
= ...........
Bonsoir j'ai le même exercice
J applique ta méthode pgeod de factoriser mais que faut il faire lorsqu' on a 2 MI ( -2IA + IB + IC )
Je suis pareil que Snake je n'arrive pas a voir ce qu'il faut faire pour la suite des questions pouvez vous continuer a nous aidez svp
3. Soit D le barycentre du système de points pondérés {(A;1);(B;1);(C;1)}.
si telle est la définition de D, D est le centre de gravité de ABC.
Mais je pense que tu as mal recopié l'énoncé, non ?
ce ne sont pas les bons coefficients.
...
applique la définition vectorielle du barycentre :
G bary de (A; a) (B; ) (C; c) ssi a GA + b GB + c GC = 0
...