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Niveau terminale
Produit scalaire et barycentre dans un losange
Posté par Luciolle22
Bonjour les îliens matheux ! ^^
Alors j'ai un problème qui concerne à la fois les barycentres et les produits scalaires... J'espère ne pas avoir fait de bourde: je place ce topic dans le chapitre produit scalaire.
Il s'agit d'une seule question qui me pose problème, mais pour plus de "clarté" je vais vous mettre l'énoncer avec mes réponses, en vous épargant le plus gros des calculs et démonstration en tout genre:
Soit ABC un triangle équilatéral de côté a et I milieu du segement [BC].
1) Faire une figure qu l'on complétera au fur et à mesure:
bon, je vais vous laisser faire un brouillon chez vous... ^^
2)Soit D le barycenrte des points pondérés (A;-1), (B;1), (C;1).
a)Caractériser le point D par une égalité vectorielle:
J'ai trouvé (sous la forme de vecteurs) AD=AB+AC
b)Déterminer la nature du quadrilatère ABCD:
ABCD est un losange
3)Exprimer le produit scalaire vectAB.vectAC en fonction de a:
Je trouve AB.AC = a²/2
4) Pour tout point M du plan P, montrer que:
a) vectMB.vectMC= MI²-a²/4
b) vectMB.vectMC= MA² + vectMA.vectAD + a²/2
c) -MA²+MB²+MC²= MD²-a²
J'ai réussit les trois démonstrations, qui doivent bien servir pour cette dernière question qui me pose problème:
5)Déterminer et représenter
a) L'ensemble E des points M du plan tels que vectMB.vectMC= a²/2
Je trouve que E est le cercle de centre I et de rayon AI
b) L'ensemble F des points M du plan tels que vectMB.vectMC= MA²
Et là le blanc total... J'ai tourné et retourné tout l'exercice dans ma tête, rien à faire. Je suppose qu'il faut partir de l'idée que:
vectMB.vectMC= MA²
vectMA.vectAD + a²/2= 0 (d'après la démo du 4)b)) Mais à part ce début de piste je n'aboutie à rien de très concret...
Voilà, donc si vous trouvez (je sais que c'est beaucoup de boulot, et je remercie d'avance ceux qui auront le courage de le faire), j'aimererai que vous me donniez quelques pistes...
Encore merci pour votre aide,
Luciolle
bonjour,
ce que tu écris est correct
on cherche donc les points M tels que
si tu notes m la projection de M sur AD
qu peux-tu en déduire pour le point m?pour le point M?
Bonjour !
Je n'avais effectivement pas pensé au projeté orthogonal... merci ! Même si je ne pense pas avoir trouver le bon résultat, je te met ma démarche:
Donc: Soit m la projection de M sur (AD)
On trouve deux cas:
-Si vect{Am} et vect{AD} sont de même sens, alors on a: Am
AD= a²/2
Or (j'ai déjà eu à le calculer précédemment) AI= a
3/2
De plus I milieu de AD donc AD= 2AI= a3
D'où Am= (a²)/(2a3)= (a3)/(6)= 1/3(a3)/(2)
D'où Am=1/3AI
-Si vect{Am} et vect{AD} de sens contraire, de la même manière, on trouve Am= -1/3AI
Et pour conclure:
Or une distance est positive, donc Am=1/3AI, et m
[AD]
Et là, peut-on dire que AM= 1/3AI ?
Dans ce cas F serais le cercle de centre A et de rayon 1/3AI... Mais j'aurais du mal à placer F dans le dessin dans ce cas.
Voilà en gros l'idée que j'ai eu avec le projeté orthogonal, mais ma manière de démontrer me gène... Et je ne suis pas sûr de pouvoir dire que Am = AM.
Qu'en pensez vous ?
Encore merci pour votre aide,
Luciolle
non ne peut pas dire que AM=Am mais m est un point fixe sur AD donc tous les points M se projettent en un même point m sur AD=>M est sur la droite perpendiculaire en m à AD
ahhhh... effectivement ça parait logique quand tu le dis. ^^
Donc F serait la droite perpendiculaire à (AD), passant par m. Il ne reste donc plus qu'à trouver l'emplacement du point m... Ce que j'ai fais au-dessus pourrai fonctionner ?
Encore merci,
Luciolle
désolée de ne pas avoir répondu avant mais j'avais un problème de connexionles deux vecteurs sont de même sens,donc m est bien déterminé
Mais pour placer cette droite, il faut bien connaitre la position du point m... non ? Ce que j'ai fais plus haut pourrais convenir ?
Encore merci pour votre aide,
Luciolle