) on peut aussi rechercher le lieu des points M ayant même produit scalaire AB.AM ou BA.BM pour un segment [AB].
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Produit scalaire et triangle équilatéral
Posté par alexth
Bonjour,
j'ai une question dans un exercice, qui demande de montrer que ABC est bien un triangle équilatéral. Je sais qu'on peut le prouver avec la mesure des distances AB, AC et BC, mais je voulais savoir s'il était possible de passer par le produit scalaire ?
En effet, les trois produits scalaires d'un triangle équilatéral sont égaux, mais la réciproque est-elle vraie?
Merci d'avance pour vos réponses.
Bonjour, bonne question, essaye de te poser le problème et de le résoudre.
je te donne le début. si on appelle a;b;c les 3 cotés du triangle alors on peut écrire (vectoriellement) que AB²=(AC+CB)²=AC²+CB²+2AC.CB
si on appelle k le produit scalaire commun k = AC.CB = BA.AC = CB.BA alors ça s'écrit :
c² = a² + b² + 2k et par symétrie on peut aussi écrire :
a² = b² + c² + 2k
b² = c² + a² + 2k
il faut déduire de ces 3 équations que a = b = c.
une piste : respecte la symétrie des variables et pose p = a²+b²+c² et essaye d'exprimer a²; b² et c² en fonction de p
(commence par ajouter les 3 équations membre à membre par exemple)
tu termines la démonstration ?