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Produit scalaire/Norme
Bonjour pouvez vous m'aider a faire cette exo svp
EXERCICE
A.Donner un exemple de forme bilinéaire symétrique et de sous espace F où F et F⊥ ne sont pas en somme
directe.
J'arrive pas à trouver un qui marche
B.Soit (E,(<·, ·>)) un espace préhilbertien.Montrer que L'application x|->sqrt(<x.x>)
est une norme sur E
Pour montrer que c'est une norme j'ai fait:
1.sqrt(<x.x>)
0(évident) car une racin carré est positive
2.sqrt(<x.x>)=0 =><x,x>=0<=>x.x=0=>x=0
3.Soit 
R alors sqrt(<x.x>)=sqrt(2)sqrt(<x.x>)=||sqrt(<x.x>) or sqrt(<x.x>)0 donc ||sqrt(<x.x>)0
4.Montrons que sqrt(<x+y>)
sqrt(<x,x>)+sqrt(<y,y>)
sqrt(<x+y>)2=<x,x>+2<x,y>+<y,y><x,x>+2<x,x><y,y>+<y,y>=(sqrt(<x,x>+<y,y>))2
Esce correct?
C.Donner un exemple de forme bilinéaire réelle qui n'est ni positive ni négative
[vert]Comment faire pour en trouver,j'arrive pas tout ce qui est donner un exemple..
D.Soit b : E × E → k une forme bilinéaire symétrique sur E un R-espace vectoriel. b est anisotrope si
et seulement si b est défnie positive ou bien défnie négative.
Comment faire,des pistes de réflexions pour que je puisse démarrer
E.Un exemple dans un espace préhilbertien de votre choix d'un sous-espace F tel que F
(F⊥)⊥.
J'ai trouvé par exemple .Je sais pas escequ'il ya plus simple
F.Un exemple dans un espace préhilbertien de votre choix d'un sous-espace F tel que F et F⊥ ne sont pas en somme directe.
??
G. Soient (E,(<·, ·>)) un espace euclidien et q : E → R une forme quadratique. Il existe une base orthonormée de E qui soit aussi orthogonale pour q.
Des pistes de réfléxions
Bon comme l'exo est long je fais une priorité sur la question A d'abord
salut
3/ l'homogénéité est fausse : il faut calculer :
4/ l'inégalité triangulaire ne va pas non plus :
il suffit donc de montrer que ...
A : travailler en dimension infinie ...
C : regarder par exemple dans le plan : B((x, y), (u, v)) = xu - yv ...
A.Travailler en dimension infini c'est à dire ?
Moi j'ai jamais fait en dimension infinie,en général en classe on fait que en dimension finie du coup je sais pas trop comment m'y prendre.C'est quoi dimension infini ,comment on le définit?
B.
salut
3/ l'homogénéité est fausse : il faut calculer :
4/ l'inégalité triangulaire ne va pas non plus :
il suffit donc de montrer que ...
Ah ok je vois soit
R,
(2<x,x>)=||(<x,x>)
Pour le 4 on doit montrer que que l'expression avant le et est plus petit que celle après le et
Esceque on doit le justifier car je vois pas comment ?
Bonsoir,
que penser de la forme bilinéaire symétrique sur
Soit À cette matrice la forme bilinéaire est définie par xtAy
C'est quelle question ?
Ah d'accord c'est vrai pourquoi j'y avais pas pensé c'est la forme bilinéaire symétrique la plus simple
F=vect(1,0)
F⊥ =vect(0,1)
F+ F⊥=vect(1,1)
F 
F⊥=0 et 1 donc différent de l'ensemble vide
Donc F et F⊥ ne sont pas en somme direct
Esce bon ?
Bonjour
non
pour commencer je pense qu'il faut que tu revoies la notion de somme de deux sous-espaces ... et l'intersection de deux ensembles
J'ai revu la définition
F+ F⊥=zR2/il existe un x=(1,0)Fet un y=(0,1) F⊥ Tel que z=x+y
F+ F⊥=Vect((1,0),(0,1))
Dim(F+ F⊥)=dim(F)+dim(F ⊥)-dim(FF ⊥)
4=2+2-dim(FF ⊥)
Donc dim(dim(FF ⊥)=0
Problème vu que je veux monter que c'est pas en somme direct j'me devais avoir une dimension diffèrent de 0 non?
Ou bien pour faire intersection je dois faire ceci:
Soit w=(x,y) le vecteur de l'intersection
w=a(1,0)=b(0,1)
x=a et y =b
Ah oui on est dimension 2
Donc du coup on a 2=1+1-dim(FF ⊥)
Donc dim(FF ⊥)=0
J'ai le meme soucis
N'est-ce pas dimension de F=1 de même que dim(F ⊥)?
au lieu de réciter ta table d'addition, commence par réfléchir un peu ! quelle est la dimension de F ? qui est l'orthogonal de F (je te rappelle que tu n'utilises pas le produit scalaire usuel ...)
Ah oui vous avez raison dim(F+F ⊥)=dim(F U F ⊥)={xF ou x F ⊥}
dim F=dim(vect(1,0))=1(car 1 vecteur) et dim(F ⊥)=dim(vect(0,1))=1
donc dim(F+F ⊥)=1
Donc dim(F+F ⊥)=dim(F)+dim(F+F ⊥)-dim(F
F ⊥)
1=1+1-dim(FF ⊥)
1=2-dim(FF ⊥)
-1=-dim(FF ⊥)
donc dim(FF ⊥)=10 donc on ne peut pas avoir une somme direct entre F et F ⊥
C'est bon ?si c'est pas bon je comprendrais plus rien
je te répète que tu n'utilises pas le produit scalaire usuel et que donc il n'y a aucune raison que l'orthogonal de F soit le même que d'habitude. Et scoop, avec le produit scalaire usuel, un espace et son orthogonal sont toujours en somme directe, en dimension finie .... donc ton semblant de "preuve" est forcément faux ...
(déjà quand tu écris une égalité entre une dim, donc un nombre, et une partie d'un espace vectoriel, donc un ensemble ... ça commence bien mal !, et je ne parle même pas de la dimension de l'union, je te rappelle que l'union n'est un espace vectoriel que si l'un des deux espaces est contenu dans l'autre .... donc n'a pas de dimension ...)
Vous avez dit qu'on utilise pas le produit scalaire ponctuel.
Bonsoir,
que penser de la forme bilinéaire symétrique sur
Du coup,faut que je change de matrice?
verdurin te donne le produit scalaire : <(x, y) | (u, v)> = xu
notons (i, j) la base "canonique" de R^2 et prenons F = vec (i)
quel est l'orthogonal de F ?
Donc on a b:R2xR2——>R
x
——>
A
Oui c'est ça que j'ai dit le (x,y) c'est mon (x1,y1) et (u,v) c'est mon (y1,y2)
La base canonique de R2 est (1,0) et (0,1)
F=vect((1,0),(0,1))
F ⊥:
b((1,0),(x,y))=0 donne vect(0,1)
b((0,1),(x,y))=0 donne R2
Une base de ceci j'arrive pas à en trouver
La base canonique de R2 est (1,0) et (0,1)
F=vect((1,0),(0,1)) donc F = R^2 !!
en plus je te dis de prendre F = vec (1, 0)
Pour préciser mon idée.
Je considère F=vect(0,1).
On a alors
Essaye de déterminer .
La somme est-elle directe ?
F ⊥=R2 et F=vect(0,1)
F+ F ⊥ est en somme direct ssi dim(F F ⊥)=0
Donc pour monter ici qu'il ne sont pas en somme direct il faut montrer que la dimension est différente de 0
Ou bien c'est pas un bon raisonnement ?
Tu sais que F= vect(0 1) sous espace vectoriel de 
2 et que F
=2.
Il me semble assez facile de voir que F
F F
Ah d'accord du coup c'est vect(0,1) l'intersection
Ah donc on peut conclure c'est pas en somme direct merci•Mais je voulais savoir en règle général comment on détermine l'intersection car il y a certain espace vectoriel c'est pas simple ou ça saute pas à l'oeil nu
Dans les cas que tu donnes il y une méthode générale.
Pour le premier exemple regarde les solutions de
Pour le second les solutions de
Merci j'ai compris
DoncA/B/C ok
Pour le D comme on a équivalence montrons
1)si b anisotrope alors elle est définie positive ou négative
Soit b la forme bilinéaire x1y1
b(x,x)=<x,x>0 donc b définie positive
Pour définie négative il suffit de prendre comme forme bilinéaire -x1y1
Pour l'autre sens si b définie positive ou négative alors elle est anisotrope
En reprenant la forme bilinéaire lorsqu'on calcule le cône b(x,x) on trouve x12 =0 donc x1=0 donc est anisotrope
Esce correct la démo ?
Bonjour,
j'ai l'impression que tu n'as pas bien compris la question D.
On te dit que b est anisotrope, c'est à dire que b(x,x)=0 entraîne x=0.
Et on te demande d'en déduire que le signe de b(x,x) est constant ( soit positif, soit négatif ) quelque soit x dans E.
On peut montrer ça en prenant deux éléments u et v dans E et en étudiant la fonction de R dans R
x
b(u+xv,u+xv).
Bonjour esce que u et v ce sont des réels
Si c'est le cas,esceque je peux prendre n'importe quel réel?
Et j'ai pas compris comment en quoi le fait de calculer b(u+XV,u+XV) permet de dire qu'on a des signes constants sur R
J'ai écrit que u et v sont dans E, en d'autres termes il s'agit de vecteurs.
Pour prendre un exemple.
On suppose qu'il existe deux vecteurs linéairement indépendants u et v tels que :
b(u,u)=-1 et que b(v,v)=1.
Tu peux montrer qu'il existe x dans R tel que :
b(u+xv,u+xv)=0
en développant b(u+xv,u+xv) avec la bilinéarité.
Si on prend u=(0,1) alors b(u,u)=-1
Si on prend v=(1,0) alors b(v,v)=1
Pour une forme bilinéaire b:x1y1-x2y2
b(u+xv,u+xv )=b((x,1),(x,1))
Après je trouve x2-1 mais j'arrive pas à déduire que c'est égale à 0
Il suffit de résoudre
Mais tu n'as pas fait ce que je te demandais.
Tu utilises le produit scalaire canonique comme forme bilinéaire, s'en est une mais il y en a d'autres.
De façon générale on a :
Sur ce je pars loin d'internet pour quelques jours.
Ah je pensais avoir fait ce que vous avez dit .Vous avez dit que on doit avoir 2 vecteurs linéairement indépendants du coup j'ai essayé a cherché une forme bilinéaire qui satisfait ces conditions
Je vois pas en quoi ce que j'ai défini c'est le produit scalaire usuel car s'il l'était on aurait eu à la place du - un +(x1y1+x2y2)
Je dois cherche une autre forme bilinéaire qui marche c'est ça ?
Bref je vois il fallait que je fasse le truc façon général
Pas de problème ,s'il y a un autre prof qui peut m'aider en votre abscence ces jours là ça sera cool.
Bonsoir
je tâche de prendre la relève, mais je crains de ne pas avoir autant de patience que verdurin ! Du coup essaie de lire attentivement tes énoncés avant de poser des questions sans rapport avec ce qu'on te demande !
là tu es en train d'essayer que si b est anisotrope, alors elle est soit définie positive, soit définie négative. pour ça tu es parti d'une forme b quelconque mais anisotrope, et tu as supposé que tu pouvais trouver deux vecteurs u et v pour lesquels b(u,u) et b(v,v) étaient de signes contraires
verdurin t'a suggéré de calculer b(u+xv, u+xv), ce qu'il a fini par faire pour toi. Es-tu capable de reconnaître dans le résultat un trinôme du second degré en x ? te souviens-tu avoir appris au lycée comment trouver si un tel trinôme peut s'annuler ? je te laisse réfléchir un peu
Oui j'essayerais d'être plus attentif
Pouf calculer cela on détermine le discriminant et on calcul le ou les racines du polynôme et c'est ce ou ces racines qui va annuler le polynôme
Ici 
=
Sauf que b(u,v) on connaît pas sa valeur du coup le discriminant on peut pas le calculer
A part cette méthode je sais pas quelle autre méthode il existe pour quelque chose qui annule le polynôme
on n'a pas besoin de le calculer pour voir qu'il sera forcément positif !
et s'il est positif ça veut dire quoi pour notre trinôme ? conclusion ?
Ah ok on est pas obligé parfait alors.S'il est positif alors il existe 2 racines qui annulent le polynôme
au moins une
et s'il existe un x tel que b(u+xv,u+xv) = 0, ça signifie quoi pour b ? (je te rappelle que u et v sont non colinéaires)
Comme il existe au moins un x qui annule ça veut dire que si b anisotrope elle est soit défini positive et négative (0 est soit positif soit négatif .De plus u et v sont de signes opposé et sont non colinéaire )
tu recommences à dire n'importe quoi...
u et v sont des vecteurs, ça n'a aucun sens de dire qu'ils sont de signe opposés ...
et avoir trouvé un vecteur u+xv qui vérifie b(u+xv,u+xv) = 0, ça veut dire quoi sur b ?je te rappelle qu'on est parti de b(u,u) et b(v,v) de signes contraires, donc on cherche une contradiction !
Ah désolé je me suis trompé je voulais dire b(u,u) et b(v,v) sont de signes contraires
Une contradiction je vois pas
Je sais juste que comme b(u,u) et b(v,) sont de signes contraires(l'un défini positif et l'autre negatif) on a aboutit à ce que b(u+xv,u+xv)=0 ce qui veut dire que b est anisotrope (rappel si x appartient à un espace vectoriel ,b(x,x)=0 donc b anisotrope )
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