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Posté par
Habiib 08-09-13 à 17:43

Bonjour,

Je cherche de l'aide dans cet exercice:


1. \prod_{k=2}^n (1+\frac{1}{k})

2. \prod_{k=2}^n (1-\frac{1}{k²})

Voilà, je sais qu'il faut que je retombe sur quelque chose du style (n+1)/1 = n+1

Donc je commence par le 1.

Ca me donne:

\prod_{k=2}^n (\frac{k-1}{k})

Et je n'arrive pas à continuer pour obtenir quelqe chose du style (k+1)/k

Merci pour le coup de pouce

Posté par
carpediemre : Produits 08-09-13 à 17:45

salut

et si tu commençais à écrire ce produit en détail ?

Posté par
lafol Moderateurre : Produits 08-09-13 à 17:47

bonjour

\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \dots \toms\frac{n-1}{n} = ?

Posté par
lafol Moderateurre : Produits 08-09-13 à 17:48

le deuxième va télescoper aussi, en écrivant chaque facteur sous la forme \frac{k-1}{k}\times \frac{k+1}{k}

Posté par
Habiibre : Produits 08-09-13 à 17:52

D'accord, oui j'ai écris le produit et la simplification saute aux yeux,

Je trouve pour la 1: 1/n

Merci

Pour la 2. J'ai réécris le produit mais pour le moment je ne vois pas de simplification

Faut-il que je trouve une raison me permettant de passer du terme n au terme n+1 ?

Posté par
Habiibre : Produits 08-09-13 à 17:53

Dsl j'avais pas vu ta réponse pour la 2.

D'accord j'essaye avec cette factorisation

Posté par
lafol Moderateurre : Produits 08-09-13 à 17:54

tu as fait comme j'ai dit à 17:48 ?

Posté par
Habiibre : Produits 08-09-13 à 18:00

Je viens d'essayer,

Ca me donne

\prod_{k=2}^n \frac{1}{4}*\frac{3}{4}*\frac{2}{9}*\frac{4}{9}*\frac{3}{16}*\frac{5}{16}*... ?

Je ne vois pas de simplification possible entre un dénominateur et un numérateur

Posté par
carpediemre : Produits 08-09-13 à 18:07

as-tu lu la remarque de lafol ? ...

Posté par
carpediemre : Produits 08-09-13 à 18:08

1 - 1/k2 :: réduis au même dénominateur et factorise ...

Posté par
Habiibre : Produits 08-09-13 à 18:13

Oui je l'ai lu c'est d'ailleurs grace à celle ci que j'ai pu faire ce que j'ai posté à 18h00

Seulement je ne vois pas la factorisation à effectuer

Posté par
lafol Moderateurre : Produits 08-09-13 à 18:16

tu as des carrés en trop aux dénominateurs, qui sont 2 puis 2 puis 3 puis 3 etc

Posté par
carpediemre : Produits 08-09-13 à 18:19



et si tu faisais ce qu'on te dit ...

1 - 1/k2 = (k2 - 1)/k2  je réduis au même dénominateur ...
            = (k - 1)/k * (k + 1) /k  je factorise

....

Posté par
Habiibre : Produits 08-09-13 à 18:29

Ah oui, j'ai fait une grossière erreur,

Je trouve que l'on arrive à (n+1)/2, est ce le bon résultat ?

Posté par
lafol Moderateurre : Produits 08-09-13 à 18:34

\frac{n+1}{2n}, non ?

Posté par
Habiibre : Produits 08-09-13 à 18:50

Je trouve (n+1)/2

Ca me fait:

\frac{1}{2}*\frac{3}{2}*\frac{2}{3}*\frac{4}{3} ... \frac{n+1}{n}

Et j'ai tout simplifié

Posté par
lafol Moderateurre : Produits 08-09-13 à 19:06

tu as oublié l'avant dernière fraction, \frac{n-1}{n} : son numérateur a été simplifié, mais pas son dénominateur....

Posté par
Habiibre : Produits 08-09-13 à 19:13

Exact merci beaucoup!


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