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Projecteur
Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour cet exercice, je ne sais pas comment commencer
On considère E un espace vectoriel.
Un projecteur est une application linéaire f de E dans E telle que f○f=f.
1a. Démontrer que si f est un projecteur, Id-f est également un projecteur.
1b. Démontrer que si f est un projecteur, Ker f = Im(Id -f) et Im f = Ker(Id -f).
1c. Démontrer que E = Ker f
Im f.
Démontrer de plus que si E est de dimension finie alors E = Im f Ker f en s'aidant du théorème du rang.
1d. Montrer que f représente la projection sur Im f parallèlement à Ker f.
2. On appelle symétrie une application linéaire s de E dans E telle que s○s=Id.
2a. Démontrer que F = Ker(Id - s) et G= Ker( Id + s) sont deux sous-espaces supplémentaires de E.
2b. Démontrer que s représente la symétrie par rapport à F parallèment à G.
2c. Notons f la projection sur F parallèlement à G. Examiner s en fonction de f.
Hello ! Si tu n'arrives pas la première question ça sert à rien d'aller plus loin dans l'exercice, faut te replonger dans ton cours sinon ça sera contreproductif
Je connais mon cours, j'ai rassemblé toutes les hypothèses qu'on connaît, mais le problème c'est qu'on a pas eu de TD pour ce chapitre du coup je bloque dès le début. Je sais ce qu'il faut démontrer mais je ne vois pas comment. Merci de m'éclaircir
Pour chercher Ker f
Pour mieux visualiser faire un dessin avec un plan, une droite qui coupe le plan et un vecteur quelconque que l'on projette sur la droite et le plan mais garder dans l'esprit que ce dessin ne démontre rien
Ah d'accord merci, j'ai fait le schéma, mais je ne vois pas le lien pour prouver que ker f = im(id - f)
Si l'on projette le vecteur parallèlement au deux espaces, la droite peut représenter le noyau de l'application et le plan l'image de l'application qui contient f(x).
x-f(x) est alors sur la droite.
Pour résoudre ton problème j'ai trouvé une vidéo sur YouTube
Dans math pour adultes de Gilles Bailly Maitre c'est la vidéo projecteur vectoriel.
Sur l'ensemble des vidéo sur les applications linéaire elle porte le numéro 14 (sur 15).
Aaahh je suis en Turquie actuellement et ils ont censuré tous les sites internet du type wikipedia, youtube...
Bonjour
Je sais que ça a déjà été posté mais j'ai le même exo à faire, j'ai réussi la question 1a. et la question 1b. je suis bloqué mais je pense qu'il faut faire par double inclusion merci des réponses.
On considère E un espace vectoriel.
Un projecteur est une application linéaire f de E dans E telle que f○f=f.
1a. Démontrer que si f est un projecteur, Id-f est également un projecteur.
1b. Démontrer que si f est un projecteur, Ker f = Im(Id -f) et Im f = Ker(Id -f).
1c. Démontrer que E = Ker f Im f.
Démontrer de plus que si E est de dimension finie alors E = Im f Ker f en s'aidant du théorème du rang.
1d. Montrer que f représente la projection sur Im f parallèlement à Ker f.
2. On appelle symétrie une application linéaire s de E dans E telle que s○s=Id.
2a. Démontrer que F = Ker(Id - s) et G= Ker( Id + s) sont deux sous-espaces supplémentaires de E.
2b. Démontrer que s représente la symétrie par rapport à F parallèment à G.
2c. Notons f la projection sur F parallèlement à G. Examiner s en fonction de f.
*** message déplacé ***
il doit manquer un + (voire un plus de somme directe) si je ne me trompe pas
il faut effectivement faire une double inclusion
un sens est "évident"
sais tu lequel ?
pour l'autre sens
vérifier que x - p(x) est Ker f
*** message déplacé ***
Sur l'autre forum, ils ont dit que c'est im(id -f) C ker f mais je vois pas en quoi.
Oui c'est somme directe les endroits où il n'y a rien
*** message déplacé ***
il faut le montrer
pour cela on prend un élément y appartenant à Im(Id-f) et on vérifie que p(y) = 0
*** message déplacé ***
Si y appartient à Im(id -p) alors il existe x dans E tel que l'image de x par Id - p est y.
Donc (Id - p)(x)=y
Comme id -p est linéaire et projecteur alors id(x) - p(x) = y et p(y) = p(id(x) -p(x)) = p(id(x)) - p(p(x))=0
Je suis pas sûr
*** message déplacé ***
p(id(x)) - p(p(x))=0
pour montrer qu'on a bien compris il vaut mieux écrire l'étape de calcul p(x) - p(x) même si elle est évidente mais sinon c'est ça
(au fait c'est ma faute mais il faut mettre des f à la place des p)
petite remarque :
le fait que Id - p soit un projecteur et soit linéaire n'intervient absolument pas
*** message déplacé ***
Mais on utilise bien la linéarite ici ( f(u+v) = f(u) + f(v)) non? Mais pas la projection
Pour la 2ème inclusion, on a x -f(x) qui est dans ker f car f(x-f(x))=0E (après calculs)
*** message déplacé ***
oui on utilise la linéarité de f
mais pas de Id - f !
Pour la 2ème inclusion, on a x -f(x) qui est dans ker f car f(x-f(x))=0E (après calculs)
je me rends compte que vous avez perdu un peu le nord dans toute cette affaire
je rappelle que ce qu'il faut montrer par double inclusion est :
E = Ker f
Im f
*** message déplacé ***
Ah mais moi je faisais la 1b... je viens de voir que j'était pas clair dans mon intro, mais c'est la double inclusion de la 1b que je n'ai pas réussi
*** message déplacé ***
Jclo banni pour ton manque d'honnêteté....
Barjjj = Jclo 
edit > et si tu continues à ouvrir ainsi compte sur compte, c'est pas 3 jours d'exclusion que tu vas prendre...
donc tu as un bon paquet de comptes à fermer avant de pouvoir revenir...
Masis7, Hayastan7, alex71, anthony010799, dedelfa...
pour traiter la question 1_ b on a vue que x-f(x) était dans Ker f.
On écrit donc que x= f(x) + (x-f(x))
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