Bonjour à tous,
Qqn aurait-il une petite idée pour la démonstration de ceci :
Une projection est une transformation linéaire f d'un espace vectoriel V telle que f = f°f
Un tout tout grand merci d'avance....
Salut!
Ca depend.... Comment tu definis une projection?
Parce que dans certains cours, ce que tu as ecrit est la definition meme d'un projecteur.
A+
biondo
Il paraît clair que par définition un projecteur est un projecteur, cad une application qui envoie l'espace sur un sev parallèlement à un supplémentaire.
Soit f linéaire tq fof=f
Notons E=Im f et F=Ker f
1) E et F sont en somme directe. En effet soit x dans l'intersection.
Alors x=f(y) pour un certain y, et f(x)=0, i.e. x=f(y)=fof(y)=0. Donc l'intersection est vide
2) La somme de E et F est égale à tout l'espace.
Soit x quelconque, remarquons que x=f(x) + (x-f(x)).
Alors f(x) appartient à E tandis que f(x-f(x))=f(x)-fof(x)=f(x)-f(x)=0 donc x-f(x) appartient à F.
Cela prouve que E et F sont supplémentaires.
Montrons maintenant que f est le projecteur sur E parallèlement à F.
On a vu x=f(x) + (x-f(x)) avec f(x) appartient à E, x-f(x) appartient à F.
Par définition de la projection, f(x) est donc le projeté de x sur E parallèlement à F. CQFD
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