Bonjour,voilà j'ai d'énormes difficultés sur un dm (je n'arrive vraiment à rien!)et j'aimerais avoir de l'aide si vous avez le temps et si vous le voulez bien,le dm est à rendre pour mardi.Je vous remercie d'avance.

A.Propriétés du centre de gravité


ABC est un triangle quelconque,de centre de gravité G.A',B' et C' sont les milieux respectifs des côtés [BC],[CA] et [AB].

1.a.Justifier l'égalité ->       ->
                        AG = 2:3 AA'

En déduire la valeur du nombre k tel que ->    ->
                                         GA = kGA
                          -> -> ->
b.Montrer alors l'égalité GA+GB+GC =0

2.a.Soit M un point quelconque du plan.Montrer que l'on a:
-> -> ->   ->
MA+MB+MC =3MG
                                       -> -> ->  ->
b.Démontrer que,si le point M vérifie: MA+MB+MC =0 alors M est le centre de gravité du triangle ABC.


B.Caractérisation vectorielle de l'orthocentre


O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
On considère le point H défini par la relation:
->   -> -> ->
OH = OA+OB+OC
                     ->    ->
1.Montrer que l'on a AH = 2 OA
En déduire que (AH) est une hauteur du triangle ABC.

2.Par raisonnement analogue,montrer que (BH) est une autre hauteur du triangle.

3.Conclusion: Que représente H pour le triangle ABC?


C.Droite d'EULER d'un triangle


ABC est un triangle quelconque, G son centre de gravité H son orthocentre et O le centre de son cercle circonscrit.
En utilisant la relation caractérisant H dans la partie B, montrer alors que ->     ->
          OH = 3 OG.
Que peut-on en déduire sur les points O, H et G?

La droite passant par O, H et G s'apelle droite d'EULER du triangle ABC.
Que se passe-t-il si le triangle ABC est équilatéral?