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puissance d'un endomorphisme
Bonjour,
j'essaie de terminer un exercice de concours portant sur la puissance d'un endormophisme (et la diagonalisation) et je suis bloqué sur une question.
Soit E un ev avec le corps des complexes.
Dans une première partie on démontre que plus on applique un endomorpisme u à lui-même plus le noyau s'agrandit et plus l'image rétrécit, jusqu'à arriver à un entier r à partir duquel :
ker(uk)=ker(uk+1) 
k
r
On a l'égalité analogue pour l'Image et on montre enfin que
E=ker(ur)
Im(ur)
Dans une seconde partie cela se corse un peu :
Soit une valeur propre de u. On définit :
r(
)=min{k, ker((u-Id)k)=ker((u-Id)k+1) (en gros c'est le même principe pour u-Id)
On définit également les sev :
N()=ker((u-Id)r()) et
G()=Im((u-Id)r())
On montre que ces 2 espaces sont stables par u et que N() n'est pas vide.
Cela bloque ici : montrer que l'endomorphisme induit par u sur N() n'a que comme valeur propre.
Auriez-vous une toute petite idée svp ?
C'est pourtant assez simple, comparé à ce qui précède. Raisonne par l'absurde en prenant un vecteur propre dans de valeur propre associée
.
M'enfin!
Soit avec
et
. Explicite le fait que
appartient à
, et si tu ne vois pas la contradiction comme un nez au milieu de la figure, je crois que tu ferais mieux d'aller te coucher. Demain, avec la tête reposée, ça ira mieux !
(Il n'est d'ailleurs pas nécessaire de raisonner par l'absurde).
ok je sors... Je n'avais pas vu que cette fois la puissance était calculable, eh oui... Psychorigidité sur l'expression de la puissance au départ.
Merci beaucoup de m'avoir motivé
Bonjour,
Essaye donc de calculer
où x' est le vecteur propre associé à
tu observeras que si alors il y a contradiction avec
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