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Niveau Maths sup
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Quadratique

Posté par
these
06-05-08 à 17:49

Avez vous une idee comment je demontre ce resultat:

Soit q une forme quadratique sur E de signature (r,s). B une base de E.

1/ q est positive si et seulement si s=0.

2/ q est definie negative si et seulement si r=n.

J'ai cherche partout et je ne trouve pas de demonstration. Si vous avez une idee n'hesitez pas. Merci d'avance.

Posté par
these
re : Quadratique 06-05-08 à 17:50

desolee pour 2/ q est definie positive si et seulement si r=n

Posté par
Camélia Correcteur
re : Quadratique 06-05-08 à 18:07

Bonjour

C'est immédiat. Si q est de signature (r,s) on sait qu'il y a une base par rapport à laquelle

q(x_1,...,x_n)=x_1^2+...x_r^2-x_{r+1}^2-...-x_{r+s}^2 et il suffit de regarder...

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Quadratique 06-05-08 à 18:14

Bonjour (ça ne fait pas de mal et ce n'est pas la première fois!)

Les résultats que tu avances sont faux, ou alors il faut supposer que r+s=n(=dim(E)).

Sans cela, il faut remplacer positive (resp. négative) par définie positive (resp. définie négative).

Je supposerai donc que r+s=n.


1)Si s=0, il existe une base (e1,...en) de E dans laquelle q admet pour matrice la matrice diagonale diag(a1,...an) avec tous les ai strictement positifs par hypothèse.

On en déduit que pour tout 4$\rm x=x_1e_1+...+x_ne_n\in E,\;q(x)=\Bigsum_{i,j}x_ix_jB(e_i,e_j)=\Bigsum_{i=1}^nx_i^2B(e_i,e_i)=\Bigsum_{i=1}^nx_i^2q(e_i)=\Bigsum_{i=0}^nx_i^2a_i

qui est positif, et nul si et seulement si tous les xi sont nuls.

Ainsi la forme est définie positive.



Réciproquement, supposons s non nul.

Alors il existe une base dans laquelle la matrice de q comporte un coefficient négatif, autrement un vecteur f tel que q(f) < 0: par suite q n'est pas positive.

On peut même prouver que si q n'est ni positive ni négative, alors elle n'est pas définie:


*Supposons donc 0 0.

L'application :

w:[0;1] -> R

t -> q(te +(1-t)f)

est la composée de deux fonctions continues (une forme quadratique est un polynôme homogène de degré 2), donc w est continue.

De plus, w(0)=q(f)>0 et w(1)=q(e)<0, donc w s'annule au moins une fois d'après le théorème des valeurs intermédiaires.



2)C'est immédiat en appliquant le résultat du 1) à la forme -q.

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Quadratique 06-05-08 à 18:14

Bonjour Camélia!

Posté par
Camélia Correcteur
re : Quadratique 06-05-08 à 18:17

Bonjour Greg.

Non, c'est pas faux! q est positive si et seulement si s=0 (définie si de plus r=n)

Et il n'y a pas de raison de supposer que r+s=n. Par exemple q(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-x_2^2 est de signature (1,1).

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Quadratique 06-05-08 à 18:19

Oui oui, c'est bien ce que j'ai dit!

Citation :

Les résultats que tu avances sont faux, ou alors il faut supposer que r+s=n(=dim(E)).

Sans cela, il faut remplacer positive (resp. négative) par définie positive (resp. définie négative).



Posté par
Tigweg Correcteur
re : Quadratique 06-05-08 à 18:20

...Sauf qu'évidemment j'ai écrit le contraire de ce que je pensais (serais-je dyslexique?) :


"Sans cela il faut remplacer "définie positive" par "positive" dans ton énoncé", aurais-je dû dire en effet!

Posté par
these
re : Quadratique 06-05-08 à 18:21

Salut Camelia
comment je dois rediger pour 2/?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Quadratique 06-05-08 à 18:24

Si r=n, on a forcément s=0, donc q(x_1,...,x_n)=x_1^2+...+x_n^2 ce qui est évidemment positif et ne s'annule que pour x=0.

Posté par
these
re : Quadratique 06-05-08 à 18:26

Salut Tigweg
Ce sont les enonce que j'ai. Je ne vois pas aussi de raison de supposer r+s =n

Posté par
these
re : Quadratique 06-05-08 à 18:27

Ceci donne le 2eme sens de 2/

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Quadratique 06-05-08 à 18:38

Non mais si r+s est différent de n, il n'est pas possible que la forme soit définie positive ou négative, puisque la diagonale de la matrice de q dans toute base orthogonale contiendra au moins un 0 !

Les énoncés sont bien faux, il faut en retirer le mot "définie"!

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Quadratique 06-05-08 à 18:41

Oups oubliez tout ce que j'ai dit, j'avais mal compris la correction que tu apportais dans ton deuxième post, je suis désolé!

Posté par
these
re : Quadratique 06-05-08 à 18:51

Il n'ya  pas de pb.

Posté par
these
re : Quadratique 06-05-08 à 18:52

Je vois q'on a mq 2/ et 3/ pour pour chacun juste le deuxiemme sens. Qu'en est il pour le premier sens?

Posté par
these
re : Quadratique 06-05-08 à 18:59

Est ce vous pensez que c'est juste

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Quadratique 06-05-08 à 19:44

Pour montrer que (q définie positive) => (r=n),

il suffit de raisonner par contraposition:

si r était strictement inférieur à n, on aurait s=0, et ce que j'ai fait dans mon premier post s'applique, de même que la réponse de Camélia.Nous l'avons déjà démontré.

Posté par
these
re : Quadratique 06-05-08 à 20:17

Ok mon ami c'est compris. Je suis bloque dans un autre exercice (juste la 1ere question)
Le titre dans le forum est orthogonalite et dimension. Est ce que tu peux intervenir aussi. Je vous remercie.

Posté par
these
re : Quadratique 06-05-08 à 20:32

Ok c'est bien resolu aussi. Ne te derange pas.
Merci une autre fois. Vous etes tres serviable.

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Quadratique 06-05-08 à 20:55

Avec plaisir



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