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Quasi-compact

Posté par
LauraLe 02-12-20 à 10:13

Bonjour ,

J'ai un problème avec une question d'un exercice.

Soient (X, T ) un espace topologique, Z := \left\{z \right\} un singleton, avec z \neq X, et X':= X U Z.
De plus, T':= T U \left\{ X'\ K | K quasi-compact et fermé dans (X, T ) \right\}
(on ne voit pas très bien mais K est quasi compacte et fermé dans (X,T))

Montrer que (X', T') est quasi-compact.

Avant de commencer de répondre à la question je montre déjà que T' est une topologie sur X'

Je posé déjà mieux K:
K est  est quasi compacte c'est-à dire tout recouvrement ouvert de X  : \mathcal (R_j)_{j\in J} (autrement dit X = \bigcup_{i \in I}R_i où pour tout i\in I , R_i \in T) on peut extraire un sous rcouvrement fini ( autrement dit \mathcal R_{j-1}\subset R_j avec J fini)

De plus K est fermé. Mais ne peut-on pas "ignorer" que K est fermé car une partie fermée d'un quasi-compact est quasi-compacte ?
Si non comment peut-on décrire K avec K quasi compacte et fermé s'il vous plait ?

Je vous remercie,
Bien cordialement

Posté par
GBZMre : Quasi-compact 02-12-20 à 14:33

Bonjour,

Une version plus lisioble de ton énoncé serait-elle ça :

LauraLe @ 02-12-2020 à 10:13

Soient (X, T ) un espace topologique, Z := \left\{z \right\} un singleton, avec z \not\in X, et X':= X \cup Z.
De plus, T':= T \cup \left\{ X'\setminus K \mid K \text{ quasi-compact et fermé dans } (X, T ) \right\}
Montrer que (X', T') est quasi-compact.


Ce que tu écris après ne va pas trop.

Il est vrai qu'un fermé dans un quasi compact est quasi-compact. Mais ça entraîne que ce qu'on peut oublier dans la définition de T', c'est le fait que K soit quasi-compact (puisque c'est impliqué par le fait qu'il soit fermé)..

Posté par
etniopalre : Quasi-compact 02-12-20 à 14:44

    Je ne comprend pas ce qu'est ton T ' .
T' est la réunion de T et de  S .
Décrit  correctement  S  


Posté par
LauraLere : Quasi-compact 02-12-20 à 14:54

Oui mais je n'arrive pas à faire des espaces sous LaTex mais je vous remercie d'avoir rectifié.

D'accord oui je me suis trompée de "sens".
Donc pour "résumer" :
K quasi-compact et fermé dans (X,T) revient à K fermé

Mais je ne vois pas ce que c'est alors X' \ Z = X \bigcup{Z} \ K

Néanmoins je peux commencer à vérifier le premier axiome de la topologie :
i) T est un toopologie donc \oslash , X \in T et T \in T'
donc \oslash , X \in T'

Posté par
LauraLere : Quasi-compact 02-12-20 à 14:59

Je n'ai pas vu votre message etniopal, mais pour vous répondre :

S={X' \ K | K quasi-compact et fermé }

Posté par
GBZMre : Quasi-compact 02-12-20 à 15:06

LauraLe @ 02-12-2020 à 14:54


Mais je ne vois pas ce que c'est alors X' \ Z = X \bigcup{Z} \ K
Qu'est-ce que ça veut dire ???

Citation :
Néanmoins je peux commencer à vérifier le premier axiome de la topologie :
i) T est un toopologie donc \oslash , X \in T et T \in T'
donc \oslash , X \in T'

Ce qu'il te faut montrer c'est que \emptyset et X' sont dans T'.

Posté par
LauraLere : Quasi-compact 02-12-20 à 15:23

J'ai fait une erreur de frappe :

{X' \ K }=  {X \bigcup Z \ K}
Et je ne comprends pas ce que cela veut dire.

i) Autant pour moi, X' \ in T' car si K= {1}
Alors {{X' \ K} }= {X'}
Donc X' \in T' et \oslash \in T'

Posté par
GBZMre : Quasi-compact 02-12-20 à 16:49

LauraLe @ 02-12-2020 à 15:23


{X' \ K }=  {X \bigcup Z \ K}
Et je ne comprends pas ce que cela veut dire.

Je ne comprends pas quel est ton problème. En passant, la commande LaTeX pour la différence ensembliste est \setminus.

Citation :
K= {1}

Qu'est-ce que ça veut dire ? En passant, les accolades ouvrantes et fermantes en LaTeX s'obtiennent avec \{ et \}.

Posté par
LauraLere : Quasi-compact 02-12-20 à 18:47

Merci pour les commandes LaTex

GBZM @ 02-12-2020 à 16:49


LauraLe @ 02-12-2020 à 15:23


{X' \ K }=  {X \bigcup Z \ K}
Et je ne comprends pas ce que cela veut dire.

Je ne comprends pas quel est ton problème.


En fait je ne vois pas ce que cela représente. On sait que K est un fermé pour la topologie T Mais X' je crois qu'on ne sais pas parce que X' = X \bicup \{ z \} donc X \in T mais \{ z \} \neq X donc X' appartient - il à X ?

GBZM @ 02-12-2020 à 16:49


Citation :
K= {1}

Qu'est-ce que ça veut dire ?


Je voulais montrer que X' \in T' mais peut-être (et sûrement) je me trompe de méthode

Posté par
GBZMre : Quasi-compact 03-12-20 à 09:58

Tu voulais sans doute dire que X' n'est pas inclus dans X (parler d'appartenance entre X' et X ne fait pas sens, essaie d'employer les termes corrects). Ou alors que X' n'appartient pas à T ?

Qu'est-ce que tu as à montrer ? Que T' est une topologie sur X'. C'est-à-dire ;
1) que T' est stable par réunion quelconque (en particulier que \emptyset appartient à T') ;
2) que T' est stable par intersection finie (ce qui se fait en montrent que X' appartient à T' et que si F et G appartiennent à T', alors leur intersection appartient aussi à T').

Pour montrer que X' appartient à T' :  vu que X' n'appartient pas à T, tu as à montrer qu'il est de la forme X' \ K où K est un fermé de X. Est-ce dur de trouver le K qui convient ?

Posté par
LauraLere : Quasi-compact 03-12-20 à 11:07

Je me suis sans doute mal exprimée

(X', T)
En fait dans les axiomes à vérifier pour montrer que T' est une topologie, il y en a 3 dans mon cours et le premier est :
i) \oslash , X' \in T'

ii) T' est stable par réunion quelconque :
Soit (U_i)_{i \in I} une famille quelconque
Si pour tout i \in I U_i = X' \setminus K alors \bigcup_{i \in I} U_i = X' \setminus K \in T'
sinon il existe i_1 tel que U_i_1= T donc \bigcup_{i \in I} U_i = T \in T
donc \bigcup_{i \in I} U_i \in T'

iii) T' est stable par intersection finie :
Soit U_1, U_2 \in T
Si U_1=U_2= T alors U_1 \bigcap U_2 = T \in T'
Sinon U_1=U_2= X' \setminus K alors U_1 \bigcap U_2 = X' \setminus K \in T'
Donc U_1 \bigcap U_2 \in T'

Pour montrer que X'  appartient à T' c'est exactement ce que je voulais faire c'est pour cela j'avais choisi le singleton 1 .
Mais K est quasi-compact et fermé dans (X,T) donc K est un fermé de X

Posté par
GBZMre : Quasi-compact 03-12-20 à 11:23

Ça ne va pas. Tu fais un grand méli-mélo.

Prenons ce que tu écris pour la stabilité par union quelconque

"Si pour tout i\in I ,  U_i = X'\setminus K". Ça ne va pas parce que le fermé K de X n'est bien entendu pas le même pour tous les i ! On doit considérer U_i = X'\setminus K_i avec K_i fermé de X pour tout i.

"sinon il existe i_1 tel que U_{i_1}= T". Ici, confusion complète : T n'est pas une partie de X. T est une collection de parties de X. Ta phrase n'a donc aucun sens.

Essaie de te clarifier les idées.

Posté par
LauraLere : Quasi-compact 03-12-20 à 12:18

Ah oui donc :

Si pour tout i \in I , U_i = X' \setminus K_i alors \bigcup U_i =X' \setminus K_i \in T'  

Sinon il existe i_1 tel que U_i_1 \in T alors \bigcup U_i \in T
Donc \bigcup U_i \in T'

Donc T' est stable par union quelconque

Posté par
GBZMre : Quasi-compact 03-12-20 à 13:45

Non, ça ne va toujours pas. Aucun de tes arguments ne tient.
Pour le premier, tu écris une égalité entre quelquee chose qui ne dépend pas de i et quelque chose qui dépend de i.
Pour le deuxième tu écris un "alors" qui est faux.
Tu donnes l'impression d'aligner des formules qui n'ont pas de sens pour toi. Essaie de plus réfléchir à ce que tu écris.

Posté par
LauraLere : Quasi-compact 03-12-20 à 14:24

Oui je ne comprends pas très bien U_i = X' \setminus K_i
La remarque que vous me faites c'est que "tu écris une égalité entre quelquee chose qui ne dépend pas de i et quelque chose qui dépend de i."

Vous même vous m'avez dit : " U_i = X' \setminus K_i avec K_i fermé de X pour tout i."
Je ne dois pas comprendre ce que vous voulez me faire dire.

Pour la deuxième je crois voir le problème. C'est que  X' \in T' et K_i \in T pour tout i. Mais alors X' \setminus K_i ça appartient à T'.
Et comme T est inclus dans T'. Alors \bigcup U_i \in T' s'il existe un U_i_1 = X' \setminus K_i_1

Par conséquent, on peut aussi considérer le cas que si pour tout i , U_i \in T alors \bigcup U_i \in T
Donc \bigcup U_i \in T '

Posté par
GBZMre : Quasi-compact 03-12-20 à 14:34

Ça se confirme. Malheureusement, tu ne comprends pas vraiment ce que tu écris. Je prends juste un exemple :

LauraLe @ 03-12-2020 à 14:24

Pour la deuxième je crois voir le problème. C'est que  X' \in T' et K_i \in T pour tout i. Mais alors X' \setminus K_i ça appartient à T'.
Et comme T est inclus dans T'. Alors \bigcup U_i \in T' s'il existe un U_i_1 = X' \setminus K_i_1

Reviens sur cette phrase et essaie de voir tout ce qui cloche.

À part ça, je reviens sur le début de la discussion. Il est vrai qu'un fermé dans un quasi compact est quasi-compact. Mais j'ai relu l'énoncé, on n'y suppose pas que X est quasi-compact. Il est donc nécessaire, dans la définition de T', de bien spécifier K quasi-compact et fermé dans X.

Posté par
LauraLere : Quasi-compact 03-12-20 à 14:51

GBZM @ 03-12-2020 à 09:58



Pour montrer que X' appartient à T' :  vu que X' n'appartient pas à T, tu as à montrer qu'il est de la forme X' \ K où K est un fermé de X.


X' \in T'
K est par définition quasi-compact et fermé dans X et X \in T donc X \in T'
donc K est quasi-compact et fermé dans X'
De plus, par définition de T', X' \setminus K \in T'

Par conséquent s'il existe un i_1 tel que U_i_1 = X' \setminus K alors \bigcup U_i \in T'

Posté par
GBZMre : Quasi-compact 03-12-20 à 15:23

Qu'est ce que tu penses avoir démontré dans ton message ci-dessus ?

Posté par
LauraLere : Quasi-compact 03-12-20 à 15:35

Une partie de ce qu'il faut démontrer pour montrer que T' est stable par union

Posté par
GBZMre : Quasi-compact 03-12-20 à 19:36

Ben non, ru n'as pas démontré ton "Par conséquent".
Tu tournes en rond et ce fil tourne en eau de boudin.  Pour l'achever, je donne les grandes lignes de la démonstration. Je commence par un bout dans ce message.

X' est dans T' car X'=X'\setminus \emptyset et que \emptyset est un fermé quasi-compact de X.

L'intersection de deux éléments U et V de T' est dans T'. C'est clair si U et V sont dans T. Si U=X'\setminus K et V=X'\setminus L avec K,L fermés quasi-compacts de X, alors K\cup L est un fermé quasi-compact de X et U\cap V=X'\setminus(K\cup L) est dans T'. Si U=X'\setminus K avec K fermé quasi-compact de X et V\in T, alors U\cap V=U\cap(X\setminus K) est dans T et donc dans T'.

Posté par
LauraLere : Quasi-compact 04-12-20 à 12:19

Je vous remercie !

Oui je comprends donc que K \cup L est un fermé quasi compact de X car une union finie de quasi-compacts est quasi-compact.

Je me suis inspirée de votre rédaction pour faire de même pour montrer que T' est stable par union :

Si pour tout i \in I, U_i \in T alors \bigcup U_i \in T

Si pour tout i \in I, U_i = X' \setminus K_i avec K_i fermé quasi-compacts de X alors \bigcap K_i est un fermé et quasi-compact de X car une intersection quelconque d'un quasi-compact est quasi-compact.

S'il existe i_1 tel que U_i_1 = X' \setminus K et pour tout i \neq i_1, U_i \in T alors (X \setminus K_i) \in T
Donc \bigcup U_i = U_i_1 \cup (X \setminus K_i) \in T
Donc \bigcup U_i \in T'

J'ai essayé de faire de mon mieux, n'hésitez pas à me dire s'il y a des choses fausses.

J'essaye de montrer maintenant que (X', T') est quasi-compact

Posté par
LauraLere : Quasi-compact 04-12-20 à 14:16

Pour montrer que (X',T') est quasi-compact il faut je pense utiliser l'axiome de Borel-Lebesgue mais je n'y arrive pas . Pouvez-vous me donner des indications s'il vous plaît ?

Posté par
GBZMre : Quasi-compact 04-12-20 à 15:26

LauraLe @ 04-12-2020 à 12:19

Si pour tout i \in I[\tex], [tex] U_i \in T alors \bigcup_i U_i \in T

OK. Il reste à ajouter que par conséquent \bigcup_i U_i \in T'.

Citation :
Si pour tout i \in I, U_i = X' \setminus K_i avec K_i fermé quasi-compact de X alors \bigcap K_i est un fermé et quasi-compact de X car une intersection quelconque d'un quasi-compact est quasi-compact.

OK, mais il faudrait conclure dans ce cas.
En fait, on peut se passer de se cas.

Citation :
S'il existe i_1 tel que U_i_1 = X' \setminus K et pour tout i \neq i_1, U_i \in T alors (X \setminus K_i) \in T
Donc \bigcup U_i = U_i_1 \cup (X \setminus K_i) \in T
Donc \bigcup U_i \in T'

Là, je ne comprends pas ce que tu fabriques ; ça ne va pas. Une remarque qui peut être utile : s'il existe i_1 tel que U_{i_1} = X' \setminus K, alors \bigcup_i U_i= \left(\bigcup_{i\neq i_1} (U_i\cap X) \right) \cup U_{i_1}.

Posté par
LauraLere : Quasi-compact 04-12-20 à 15:58

GBZM @ 04-12-2020 à 15:26


OK. Il reste à ajouter que par conséquent \bigcup_i U_i \in T'.


Oui, exacte j'ai oublié !

Citation :

OK, mais il faudrait conclure dans ce cas.
En fait, on peut se passer de se cas.


Oui on peut se passer, mais si je conclue :

\bigcup U_i = X' \setminus (\cap K_i) \in T'


Citation :
S'il existe i_1 tel que U_{i_1} = X' \setminus K, alors \bigcup_i U_i= \left(\bigcup_{i\neq i_1} (U_i\cap X) \right) \cup U_{i_1}.


Avec ce que vous avez écrit, on sait que U_i_1 \in T' et \bigcup_{i\neq i_1} (U_i\cap X)  \in T

Donc \bigcup_i U_i \in T'

Et je pense que tous les cas on été vu

Posté par
GBZMre : Quasi-compact 04-12-20 à 16:53

Il faut expliquer ton dernier "donc".

Posté par
LauraLere : Quasi-compact 04-12-20 à 17:13

Je ne vois pas ce qu'on peut rajouter parce qu'on sait que U_i_1 \in T' et \bigcup_{i\neq i_1} (U_i\cap X)  \in T

Après on sait aussi que T \in T' c'est peut être cela que vous attendez, autrement je ne vois pas

Posté par
GBZMre : Quasi-compact 04-12-20 à 17:37

Où as-tu démontré que l'union d'un élément de T et d'un élément de T' est dans T' ?

Posté par
LauraLere : Quasi-compact 04-12-20 à 17:49

Ah, mais je ne vois pas comment le montrer rigoureusement.
Cependant on sait que T' = \{T \} \cup \{ X' \setminus K \} donc T' est "plus grand" que T donc l'union d'un élément de T et d'un élément de T' est dans T'

Posté par
GBZMre : Quasi-compact 04-12-20 à 18:33

NON !!!

Tu refais une faute de logique. Tu en as déjà fait de ce genre précédemment.
Réfléchis bien à la nature des objets que tu manipules.
Vois-tu la faute ?

Posté par
LauraLere : Quasi-compact 04-12-20 à 18:53

Oui pardon !!
T' := T \cup \{ X' \setminus K \}

Mais après je ne vois pas comment montrer que l'union d'un élément de T et d'un élément de T' est dans T'

Posté par
GBZMre : Quasi-compact 04-12-20 à 22:28

Il s'agit de démontrer que si U est un ouvert de X et K un fermé quasi-compact de X, alors U \cup (X'\setminus K) est de la forme X'\setminus L où L est un fermé quasi-compact de X. Tu devrais avoir l'argument pour établir ce fait.


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