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Question espaces vectoriels

Posté par
helioss 03-12-23 à 14:41

Bonjour
J'ai commencé un chapitre sur les structures vectorielles mais quelque chose m'échappe

Je ne comprends pourquoi on dit :
« Dans R muni de sa structure de Q-ev »
ou
« Dans C muni de sa structure de R-ev »

Je ne comprends pas j'ai beau y réfléchir

Je ne comprends donc pas non plus pourquoi les scalaires sont donc respectivement dans Q et dans R

Merci de votre aide
Bonne journée

Posté par
carpediemre : Question espaces vectoriels 03-12-23 à 16:16

salut

tu considères donc que le corps des scalaires est :

1/ les rationnels

2/ les réels

donc toute combinaison linéaire de vecteurs de R (resp. C) est à coefficients dans Q (resp. R)

RAP : tout corps est un espace vectoriel sur lui-même

Posté par
carpediemre : Question espaces vectoriels 03-12-23 à 16:17

la dimension du Q-espace vectoriel R est infinie

la dimension du R-espace vectoriel C est 2

Posté par
heliossre : Question espaces vectoriels 03-12-23 à 16:58

Bonjour merci pour votre réponse
Je ne comprends toujours pas pouvoir ne dit on pas
C muni de sa structure de C-ev ??
De même pour R ou Q
Merci beaucoup

Posté par
carpediemre : Question espaces vectoriels 03-12-23 à 18:55

le R-espace vectoriel R et le C-espace vectoriel C sont de dimension 1 sur eux-mêmes donc guère d'intérêt ...

Posté par
heliossre : Question espaces vectoriels 03-12-23 à 19:19

Ah daccord !

Je n'arrive par contre pas à voir pourquoi la dimension de Q-espace vectoriel R est différente de 1,
Merci encore

Posté par
MattZolotarevre : Question espaces vectoriels 03-12-23 à 20:36

\mathbb{C} est un \mathbb{R}-espace vectoriel de dimension 2 car \mathbb{C}=\mathrm{vect}_{\mathbb{R}}(1,\mathrm{i})
La famille (1,\mathrm{i}) est une base de \mathbb{C} car tout complexe peut s'écrire comme combinaison linéaire de ces deux nombres complexes : en effet, tu sais que pour tout z\in\mathbb{C}, il existe un (unique) couple (a,b)\in\mathbb{R}^2 tel que z=a+b\mathrm{i}.

Si \mathbb{R} était un \mathbb{Q}-espace vectoriel de dimension 1, cela voudrait dire qu'il existe \alpha\in\mathbb{R} tel que \mathbb{R}=\mathrm{vect}_{\mathbb{Q}}(\alpha), i.e. que tout réel x peut s'écrire \lambda\alpha, avec \alpha\in\mathbb{R}. Mais est-ce possible ?

Si c'était le cas, l'application

\begin{array}{cccc} \\ f:&\mathbb{Q}&\longrightarrow&\mathbb{R}\\ \\ &\lambda&\longmapsto&\lambda\alpha \\ \end{array}

serait bijective. Or \mathbb{Q} est dénombrable, donc en bijection avec \mathbb{N} (le prouver) alors que \mathbb{R} ne l'est pas (voir l'argument de la diagonale de Cantor).

Posté par
MattZolotarevre : Question espaces vectoriels 03-12-23 à 20:38

Erratum : ligne 6, lire : "tout réel x peut s'écrire \lambda\alpha avec \lambda\in\mathbb{Q}. Mais est-ce possible ?"

Posté par
heliossre : Question espaces vectoriels 03-12-23 à 20:44

Woaw ok super merci !

Mais je n'arrive toujours pas à me représenter ça.

Merci beaucoup !

Posté par
MattZolotarevre : Question espaces vectoriels 03-12-23 à 21:20

Qu'est-ce que tu ne te représentes pas, précisément ?


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