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Question simple probabilités

Posté par
Ubub 10-10-21 à 23:15

Bonjour,

J'ai une question simple en probabilités et la honte de la poser mais je ne trouve vraiment pas où je commets la faute dans sa résolution.

L'énoncé est le suivant : nous donnons à 100 000 personnes des pièces de monnaie identiques et nous demandons à chacune de lancer la pièce 10 fois. Quelle est la probabilité qu'une personne obtienne 10 fois pile?

J'essaie de résoudre la question de la manière suivante : on note A_{i} l'événement "la personne i a obtenu 10 fois pile". L'événement qui nous intéresse est \bigcup_{i=1}^{100000}{A_{i}}. Vu que ces événements sont disjoints dans leur ensemble, alors la probabilité de la réunion est la somme des probabilités P(\bigcup_{i=1}^{100000}{A_{i}}) = \sum_{i=1}^{100000}{P(A_{i})}.
L'événement A_{i} est lui-même l'intersection des évenements B_{i,j} qui est "le j-ème lancer de la personne i est pile", on peut enlever le i puisque on a le même résultat peu importe la personne. Donc A_{i}=\bigcap_{j=1}^{10}{B_{j}}, sauf que ces événements sont indépendants dans leur ensemble donc P(A_{i})=\prod_{j=1}^{10}{P(B_{j})}=\frac{1}{2^{10}}
Avec ce raisonnement on trouve que la probabilité initiale est \frac{100000}{2^{10}} ce qui est plus grand que 1.

J'aimerais vous demander où dans ce raisonnement certainement faux que je commets de faute.

Merci d'avance pour toute aide.

* modération > le niveau a été modifié  en fonction du profil renseigné *

Posté par
Zormuchere : Question simple probabilités 10-10-21 à 23:24

Bonsoir

les événements A_i ne sont pas certainement pas disjoints !

disjoints est un synonyme d'incompatibles

ces événements sont indépendants en revanche, et c'est ce qui est nécessaire pour calculer l'union. En passant par l'événement complémentaire, on a une intersection, et un calcul d'intersection d'événements indépendants est très facile.

Posté par
Ububre : Question simple probabilités 10-10-21 à 23:32

Bonsoir,

Merci pour votre réponse. Est-ce que les événements A_{i} ne sont pas disjoints parce qu'ils représent tous le même résultat, je veux dire, on peut voir leur résultat comme le mot PPPPPPPPPP.

L'événement complémentaire donc : P(\bar{\bigcup_{i=1}^{100000}{A_{i}}} = 1 - P(\bigcap_{i=1}^{100000}{\bar{A_{i}}})
Les événements \bar{A_{i}} sont les événements "la personne i a obtenu au moins 1 fois face"
Et notre probabilité serait :
\prod_{i=1}^{100000}{P(\bar{A_{i}})}
Et P(\bar{A_{i}}) = 1 - \frac{1}{2^{10}}
Donc la probabilité finale est : 1 - \prod_{i=1}^{100000}{(1-\frac{1}{2^{10}})}

Merci encore !

Posté par
Zormuchere : Question simple probabilités 11-10-21 à 00:12

Les événements ne sont pas disjoints tout simplement parce qu'il est tout à fait possible que deux personnes aient réussi à avoir les 10 piles simultanément !

Les événements sont indépendants donc ne peuvent pas être disjoints. Être disjoints, c'est quelque chose qui contredit l'indépendance, puisque ça implique clairement une dépendance entre les événements (celle d'être disjoints)

En d'autres termes, si deux événements (non triviaux) sont disjoints, ils ne sont pas indépendants, car le fait de savoir que l'un est réalisé implique que l'autre ne sera jamais réalisé

Posté par
Ububre : Question simple probabilités 11-10-21 à 00:37

Bonsoir,

Merci beaucoup pour votre réponse. Je vais essayer de garder cela toujours en tête pour ne pas faire des suppositions hâtives sur les événements.

Posté par
ty59847re : Question simple probabilités 11-10-21 à 12:02

Quelle est la probabilité qu'une personne obtienne 10 fois pile?

Quand je lis cette question, je marque un temps d'arrêt. Parce que j'aime bien que les choses soient totalement claires.
On me demande quoi ?
Quelle est la probabilité qu'exactement une personne obtienne 10 fois pile?
Quelle est la probabilité qu'au moins une personne obtienne 10 fois pile?

A priori, c'est la 2ème option.

Et du coup, j'ai un 2ème réflexe. Quand il y a au moins, ou au plus dans un énoncé, très souvent, c'est plus simple de regarder l'événement contraire.
Ici, c'est quoi, l'événement contraire :
Quelle est la probabilité qu'aucune personne n'obtienne 10 fois pile ?

Et c'est parti... on sait faire.

Posté par
Ububre : Question simple probabilités 11-10-21 à 14:51

Bonjour,

Je vois, j'avoue que ça facilite les choses de réfléchir comme ça, merci pour votre réponse.

Et je pense qu'il y a autre chose, dans cet exemple précis, l'événement complémentaire c'est qu'aucune personne n'obtienne exactement 10 piles, après le passage à la multiplication des probabiltiés grâce à l'indépendance des événements, on trouve des P(\bar{A_{i}}).
\bar{A_{i}} est l'événement "la personne i n'a pas obtenu exactement 10 piles", on peut calculer sa probabilité grâce à l'événement complémentaire (qui est plus facile, obtenir exactement) ou se dire que la personne i a au moins 1 face et ça conduirait à des sommes de probabilités du cas où c'est exactement  1 face, 2 faces... qui est bien plus difficile à calculer. Mais je pense que ça demande un peu d'expérience pour y penser directement ^^'

Vous en pensez quoi ?


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