Re

Question complémentaire (relative à une exo traité en post bac : histoire de "sin..cos.."

Est-ce qu'il est possible, quand on a un énoncé de la forme :

Chercher les primitives de cos(ax).exp(bx) où a et b réels non nuls,

de dire que la primitive sera de la forme :

[ A.sin(ax) + B.cos(ax) ].exp(bx) + C

Puis dériver et identifier pour trouver les coef A et B ?

Merci

Philoux

salut philoux, oui c est comme cela qu on procede generalement pour les equations differentielles

Merci cqfd

Peux-tu me dire pourquoi on a le droit de le faire ainsi ?

Est-ce la nature des fonctions participant au produit qui le permet ?

Merci

Philoux

alors le pourquoi du comment,

comme tu le dis ca depend vraiment des fonctions qui compose le produit
comme la fonction exp  qui se derive (ou s integre) en elle meme

le petit piege etant quand on a un produit de la forme sin(x)*exp(x) il nefaut pas ooublier d y incoreporer comme tu l as fait la fonction cos

Ok cqfd 13:25

est-ce à dire que l'intégration d'un produit :

(1/x).cos(ax)

doit contenir :
- du ln(x),
- du cos(ax),
- du sin(ax),
- d'autres choses en 1/x et/ou Pn(x)...

où est-ce que cette façon de faire :
- est fausse ?
- n'est pas autorisée ?

Cette particularité avec les polynômes et les fonction exp sont(seraient) spécifiques à ces fonctions ?

Merci

Philoux

Philoux,

Si tu arrives à trouver une primitive exprimée par un nombre fini de fonctions élémentaires pour la fonction (1/x).cos(ax), tu seras très fort car c'est impossible.

Ok J-P 13:35

La question que je me posais était de tenter de généraliser (sous des conditions que je ne connais pas et que je vous posais) la particularités des combinaisons de fonctions de mes deux premiers posts introductifs.

Cette façon de faire ne seraient donc propres qu'à exp(ax) et Pn(x) associés à des cos et sin ?
quid des tgtes, par ex ?

Philoux

la frnchement je vois pas comment conclure.

cette integrale je sais pas la calculer... comme beaucoup d autre d ailleur
justilise uniquement ta technique avec
un polynome*exp(a*x)
un poly*sin(a*x) ou cos (a*x)
un sin(a*x)*exp(a*x)

Merci cqfd

Philoux

mais de rien
je sais pas si cela va t avancer

>cqfd

Le but n'est pas de résoudre un pb donné (sauf répondre plus correctement au forum d'entraide)
mais plutôt de mieux replacer les informations (constatées ou vues dans des corrections) et de tenter d'en avoir une synthèse la plus ... synthétique

Il me semble pas avoir déjà vu des Tles résoudre ce type d'intégration sous cette forme et je me posais la question du : pourquoi.

Ca rejoint les questions ouvertes que je pose qqfois et auquelles otto, N_comme_Nul, J-P ou toi-même répondez.
J'en profite pour vous en remercier.

Philoux

c est bien d avoir l'esprit ouvert philoux....
j avoue c est pas assez mon cas
j ame bien quand ya des questions qui sont lancees et qu on utilise toute les ressources de l ile pour trouver une solutions

>cqfd

En fait, c'est plus facile d'avoir l'"esprit ouvert" comme tu dis, quand on n'a pas été trop "formaté" par un ensignement qui :
- soit a déjà répondu à ces interrogations,
- soit a "fermé" des portes car le pgm est chargé.

Comme ce n'est pas mon cas, le champs d'investigation est large et qqfois, les questions vous semblent, à vous, d'une banalité à mourrir, alors que pour moi c'est qqfois difficile.

Je pense, en particulier, à qqchose que je suspecte être grandiose "valeurs et vecteurs propres" et qu'otto a déjà tenté de me vulgariser.
Ca reste encore trop théorique mais je subbodore que c'est un outil qui doit être très puissant car l'ayant vu utilisé par vous dans beaucoup de branches des maths.

A plus tard,

Philoux

je confirme philoux l algebre lineaire est super puissant plusieur profs de fac m ont dit qu il ont eu l agreg grace a cette branche des maths (qui est utile presque partout)

moi au lycee j etais trop scolaire..... faire les exos appliquer les formule point

Bonjour philoux
je vais tenter de répondre à ta 1ère question:
si j'ai bien compris,il s'agit de justifier qu'une primitive de
x Pn(x)cos(ax) (d°Pn=n1) est de la forme:
xQn(x)sin(ax)+Rn(x)cos(ax) (d°Rn=n;d°Qn=n-1)
considérons alors l'application:
:n[X]n[X]
PP" + a²P
est linéaire et Kerest réduit au polynome nul (vérification facile)
c'est donc un isomorphisme de n[X]
ainsi pour Pn de degré n on a !(Q,R)(n[X])²tel que:
(Rn)=aPn et (Qn)=Pn'
ie: Rn"+a²Rn=aPn et Qn"+a²Qn=Pn'
(il est facile de voir que: d°Rn=d°Pn=n et d°Qn=d°Pn'=n-1)
en dérivant (Rn) on a (Rn')=aPn'
ie: (Rn')=a(Qn)=(aQn)
et donc que: Rn'=aQn (est injective)
puis que: Qn'+aRn=Rn"+aRn=Pn d'où
(Qnsin(ax) + Rncos(ax))'=(Qn'+aRn)cos(ax)+((Rn'-aQn)sin(ax)=Pncos(ax)
ce qui prouve bien que l' on a le droit d'écrire les primitives de la fonction: xPn(x)cos(x) sous la forme:
xQn(x)sin(ax)+Rn(x)cos(ax)+C ( C constante arbitraire)


remarques:
1°)la condition a0 est nécéssaire sinon n'est plus un isomorphisme de n[X].
2°)bien entendu on a identifié le polynome Pn(X) à la fonction polynomiale Pn(x).
3°)je crois philoux que tu peux généraliser ce procédé aux fonctions de la forme x Pn(x)exp(ax) avec un choix adéquat de l'isomorphisme .
tiens moi au courant A+

elhor

Je t'avoue que j'ai compris jusqu'à la 8° ligne

Mais merci tout de même

Philoux

Est-ce pour cette raison que ce n'est pas "parachuté" aux terminales ?

>elhor

Plus sérieusement, j'ai essayé de te suivre.

Mais ton application phi, tu la choisi comment ?

pour Pn(x)exp(ax), que vaudrait-elle ?

Philoux

C'est plus facile que le 1er cas:
tu dérive P(x)exp(ax) tu as (aP+P')exp(ax) tu considére alors l'application :n[X]n[X] PaP+P' c'est clairement une application linéaire injective (ie:(P)=0P=0) donc elle est bijective (car: dimension de l'espace de départ=dimension de l'espace d'arrivée=n+1) ainsi :
Pn[X] !Qn[X]/(Q)=P=aQ+Q' (remarque que d°P=d°Q)
en appliquant ceci au polynome Pn de l'expression Pn(x)exp(ax) tu as l'existence et l'unicité du polynome Qn de mm degré que Pn vérifiant aQ+Q'=P d'où:
Pn(x)exp(ax)=(aQn(x)+Qn'(x))exp(ax)=(Qn(x)exp(ax))' ce qui veut dire que les primitives de xPn(x)exp(ax) sont bien de la forme xQn(x)exp(ax)+C avec Qn l'unique polynome de mm degré que P qui est solution de l'équation:aQn+Qn'=P
comment deteminer explicitement Qn?:

k=n
tu pose: Pn(x)= pk*x^k (les pk étant connus)
k=0
k=n
et Qn(x)= qk*x^k
k=0
tu as par le biais de l'équation aQn+Qn'=P :

a*qn=pn et donc qn=pn/a
et pour k=0,..,n-1 a*qk+(k+1)*q(k+1)=pk
ie qk=(pk-(k+1)*q(k+1))/a

c'est un systéme triangulaire déscendant (ie:donnant les qk dans l'ordre décroissant: qn,qn-1,..,q0)

Exemple:
Donner la primitive de x(5x^4-2x^3+x²+x-6)exp(-2x) qui s'annule en +)
dans cet exemple tu as a=-2 ,n=4, p4=5,p3=-2,p2=1,p1=1 et p0=-6
d'où: q4=p4/a=-5/2,q3=(p3-4*q4)/a=-4,q2=(p2-3*q3)/a=-13/2,q1=(p1-2*q2)/a=-7 et q0=(p0-q1)/a=-1/2 et donc les primitives de x(5x^4-2x^3+x²+x-6)exp(-2x) sont les x((-5/2)x^4 -4x^3 -(13/2)x² -7x -1/2)exp(-2x) + C la limite en + valant C on voit que la primitive cherchée est:
x((-5/2)x^4 -4x^3 -(13/2)x² -7x -1/2)exp(-2x)