Niveau Licence Maths 1e ann

Qui a découvert ces formules ?

Posté par
SkyMtn 11-08-17 à 16:02

Bonjour. J'aimerais savoir qui est à l'origine de ce théorème de sommation ?

Soit $f$ est une fonction méromorphe avec un ensemble $X$ fini de singularités isolées.
On définit une famille $(a_n)_{n\in\Z}$ de complexes avec $a_n = f(n)$ si $n \in \Z\setminus X$ , $a_n=0$ sinon.

S'il existe $M,R>0$ et $\alpha>1$ de sorte que $\forall z\in\C, \vert z\vert > R \Rightarrow \vert f(z)\vert \leqslant \frac{M}{\vert z\vert^\alpha}$ , alors $\sum_{n=0}^\infty \vert a_n\vert , \sum_{n=1}^\infty \vert a_{-n}\vert < \infty$ .
De plus, on a :

1) $\sum_{n=0}^\infty a_n + \sum_{n=1}^\infty a_{-n} = - \sum_{x\in X} \underset{z=x}{\mathrm {Res}} \,[f(z)\,\pi\cot \pi z]$
2) $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n + \sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_{-n} = - \sum_{x\in X} \underset{z=x}{\mathrm {Res}} \,[f(z)\,\pi\csc \pi z]$

Un résultat aussi pratique pour déterminer la somme de certaines séries, et même le développement en série de fractions partielles des fonctions méromorphes, ne peut pas sortir du chapeau... quelqu'un doit forcément y être à l'origine, car c'est pas direct

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