Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre Analyse complexeTopics traitant de analyse complexe [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Partager :

Quotient de deux nombres complexes

Posté par
alainpaul 24-09-15 à 18:08

Bonjour,

Les exercices concernant le quotient de 2 nombres complexes sont assez fréquents,
une expression simple pourrait être utile à la résolution de tels problèmes.

Voici ce dont il s'agit:

z_2\neq 0 ;a,b \in R ,Z=\frac{z_1}{z_2}=a+ib

cela peut aussi s'écrire:a\times im(z_1\bar z_2)-b\times re(z_1\bar z_2)=0



avec les composantes z_1=x_1+ iy_1,\bar z_2=x_2 - iy_2   nous obtenons:


\framebox [180][c] {a(x_{1} y_2- x_2y_1)+b(x_1 x_2+y_1 y_2)=0}


adaptée aux calculs de Z réel,imaginaire ou complexe avec ab \neq 0.

Qu'en pensez-vous?


Alain

Posté par
luzakre : Quotient de deux nombres complexes 24-09-15 à 18:36

Bonsoir !
Faudrait voir sur un problème réel si cela simplifie vraiment !
Pour ma part, pas envie de mémoriser ta méthode, la séparation directe a=...,\;b=... m'est plus familière.

Quand on a besoin du quotient a/b c'est certainement moins laborieux que si on veut travailler avec parties réelle et imaginaire mais ce quotient n'est autre que la tangente de l'argument (d'ailleurs ce que tu donnes est le classique "produit vectoriel "(le sinus) sur "produit scalaire" (le cosinus)) de sorte que...

Posté par
alainpaulre : Quotient de deux nombres complexes 24-09-15 à 18:52

Bonsoir,


J'étais parti de l'équation suivante:
Z= \frac{z-1+i}{z-3+2i} = \frac{x-1+i(y+1)}{x-3+i(y+2)}=r \in R


b=0 ,a\neq 0    , x_1y_2-x_2y_1=0 ,(x-1)(y+2)-(x-3)(y+1)=0,

d'où la droite ...


Alain

Posté par
lakere : Quotient de deux nombres complexes 24-09-15 à 23:12

Bonsoir,

Tant qu' à faire de la cuisine, autant appliquer des recettes "simples":

Z= \dfrac{z-z_B}{z-z_A}

L' ensemble des points M(z) tels que Z soit réel est la droite (AB) privée de A.

L' ensemble des points M(z) tels que Z soit imaginaire pur est le cercle de diamètre [AB] privé de A.

Posté par
alainpaulre : Quotient de deux nombres complexes 25-09-15 à 11:12

Bonjour,

Tu ne réponds pas à la question et refuses d'envisager des recettes "simples",,


Je prépare un nouveau plat 'complexe' ,



Alain

Posté par
lafol Moderateurre : Quotient de deux nombres complexes 25-09-15 à 12:21

Bonjour
autant retenir ce qui fait que la recette fonctionne : arg{\dfrac{z-z_B}{z-z_A} = \left(\vec{AM},\vec{BM}\right) = \left(\vec{MA},\vec{MB}\right)

et un complexe qui est dans \R, c'est un complexe dont l'argument est 0 ou pi modulo 2pi


\left(\vec{MA},\vec{MB}\right) = 0, ça signifie que M, A et B sont alignés avec A et B du même côté de M

\left(\vec{MA},\vec{MB}\right) = \pi, ça signifie que M, A et B sont alignés avec M entre A et B

et M ne peut être confondu avec A pour que le quotient de départ existe.

Si on préfère les calculs à la géométrie, on écrira plutôt
\dfrac{z-z_B}{z-z_A} \in \R \Longleftrightarrow \dfrac{z-z_B}{z-z_A} = \bar{\left(\dfrac{z-z_B}{z-z_A}\right)} \\ \\ \Longleftrightarrow z\neq z_A {\rm \; et\; } (z-z_B)\bar{(z-z_A)} = \bar{(z-z_B)}(z-z_A) \\ \\ \Longleftrightarrow z\neq z_A {\rm \; et\; } (z-z_B)(\bar{z}-\bar{z_A}) = (\bar{z}-\bar{z_B})(z-z_A)

Ensuite on développe, on réduit, en reconnaissant des formes Z - \bar{Z} = 2iIm(Z), ce qui donne une équation de droite.

Posté par
alainpaulre : Quotient de deux nombres complexes 25-09-15 à 14:03

Bon après-midi,


D'abord 'chapeau' pour tout le travail que tu fournis sur ce site.
Je remarque aussi à cette occasion la solidarité des réguliers et piliers du site.

Ta solution est élégante mais il me semble que souvent les méthodes sont compliquées et parlent peu à l'esprit.

Je vais proposer sous un intitulé peu différent l'approche à laquelle je pense,



Amicalement,

Alain

Posté par
lafol Moderateurre : Quotient de deux nombres complexes 25-09-15 à 19:25

Dans le cas que tu as proposé, c'est assez simple : \frac{z-1+i}{z-3+2i} est réel si et seulement si égal à son conjugué, ce qui revient, pour z distinct de 3-2i, à
\\ (z-1+i)(\bar{z} - 3 -2i) = (\bar{z}-1-i)(z-3+2i)

on développe et simplifie :

\cancel{z\bar{z}} -{\blue \cancel{3}2}z-{\grey \cancel{2}}iz - {\green \cancel {\bar{z}}} + {\red \cancel{ i\bar{z}}}+\cancel{ 3+ 2} -3i + 2i = \cancel {\bar{z}z} {\blue \cancel{-z}}{\grey \cancel{-iz}}-{\green \cancel{ 3}}{\green 2}\bar{z}+{\red \cancel {2}}i\bar{z} +\cancel {3+2}+3i-2i

on regroupe :

0 = 2(z - \bar{z}) + i(z+\bar{z}) +2i

on divise tout par 2i :

0 = 2y + x + 1

et le tour est joué.

Posté par
alainpaulre : Quotient de deux nombres complexes 25-09-15 à 20:02

Bonsoir,


Nous pouvons utiliser les sommes de rapports égaux:
x_1,x_2,y_1,y_2 \neq 0    Z= \frac{x_2+iy_1}{x_2+iy_2}=r \in R

vrai si   \frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}
condition suffisante,mais aussi nécessaire :x_1+iy_1=rx_2+iry_2
composantes séparées;

Donc Z réel et \framebox[100][c]{ x_1 y_2-x_2y_1=0 }

Les autres cas s'en déduisent, imaginaire z_1' =-iz_1

Complexe ab \neq 0 , Z= \frac{x_2+iy_1}{x_2+iy_2}=a+bi
z_1''=(a-bi)z_1


Alain

Posté par
alainpaulre : Quotient de deux nombres complexes 26-09-15 à 13:10

Bonjour,

En retenant l'idée de sommes de rapport égaux ,nous pouvons traiter
simplement l'équation z' =\frac{4-z\bar z}{4-(z+\bar z)}

z'=\bar z'  donc  z' est réel ,

z \neq 0, \frac{4}{4}=\frac{z\bar z}{z+\bar z},z\bar z -z-\bar z=0

Soit avec les composantes ,l'équation d'un cercle:x^2+y^2-2x=0


Sujet actuel de terminale ,


Alain

Posté par
alainpaulre : Quotient de deux nombres complexes 26-09-15 à 15:46

Bon après-midi,


Désolé, mais mon énoncé est erroné et mal construit.
Nous n'avons pas z'=\bar z' mais l' équation suivante

z'=\frac{4-iz\bar z}{4-i(z+\bar z)} \in R

le reste z\neq 0
... est bon,


Alain


Rechercher
Menu
Espace membre
6 visiteurs
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1741 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !