salut

peux-tu écrire tes solutions f(z) en fonction de z ? sont-elles holomorphes ?

tu peux remarquer en dérivant que 2ff'=1

autrment, en écrivant que f(a+ib)=P(a,b)+iQ(a,b) avec f²=a+ib et en écrivant les conditions d'holomophie tu peux peut-être obtenir qqchose...

Non, justement, je n'arrive pas à écrire ces solutions en fonction de z.

En écrivant f=P+iQ, je trouve que P²-Q²+2iPQ=a+ib, soit P²-Q²=a et 2PQ=b, ce qui m'amène à 4 équations si je dérive ces deux là suivant a puis b. Il est possible de résoudre le système obtenu, avec les conditions de Cauchy Riemann ? Je m'en sors pas !

effectivement ça n'apporte pas grnd chose, les 4 équations se ramenant à 2 avec les conditions de C-R

autre idée : écrire f comme une série, calculer f² puis résoudre le système f²=z pour déterminer les coefficients de f
(peut-être utiliser aussi 2ff'=1 pour aller plus vite)...

Hum f est holomorphe donc analytique mais c'est une proprieté locale, je peux écrire f comme somme d'une série seulement localement ; je vais donc trouver des coefficients dépendant du point où on se trouve, non ? Je pourrai conclure comme ça ?

ha oui désolé j'avais pas fais attention "de centre 1" mais tu peux tj prendre a_i(z-1)ⁱ...

avec 1 pour rayon de convergence...

Je suis très fragile en analyse complexe, et en particulier sur les fonctions analytiques. Mais là, on veut f holomorphe sur le disque, ie analytique sur le disque.
Je raisonne par analyse et synthèse pour trouver cette fonction.
Soit donc une fonction analytique tq f²(z)=z sur le disque. Le fait que f soit analytique sur le disque ne nous garrantit pas qu'on peut écrire f(z)= sur tout le disque, si ? Il me semble, qu'on est juste sûr qu'on peut écrire f de cette façon sur un voisinage de 1...

Bonsoir.

Si, le rayon de convergence en un point est la distance entre le point et la singularité la plus proche. Si une fonction est analytique sur un disque, le rayon de convergence au centre du disque est donc le rayon de ce disque. (ou plus grand)
C'est une conséquence de la formule de Cauchy.

Pour ton problème, on peut remarquer que si f et g sont deux telles fonctions, elles ne s'annulent pas sur le disque, et que l'on a par conséquent . Comme est continue, on obtient que , et ainsi il y a au plus deux fonctions continues (et donc a fortiori analytiques) sur le disque qui vérifie cette condition : ce sont les deux fonctions que tu as trouvé. D'ailleurs, je ne saisis pas le problème que tu rencontres avec elles.

Pour prouver que tes deux fonctions sont analytiques, on peut le faire directement, par exemple avec les conditions de Cauchy-Riemann en coordonnées polaires, ou alors en utilisant le théorème d'inversion locale, ou autre ...

Bien sur, dans la définition des deux fonctions, il est entendu que et surtout que (ou un autre segment, pas n'importe lequel ...)

Merci Arkhnor pour ton aide ; il y a toutefois un passage que je ne comprends pas bien :

C'est la formule intégrale de Cauchy : si est une fonction holomorphe sur un ouvert , si , et est tel que le disque fermé de centre et de rayon est contenu dans , alors on a , pour tout dans le disque ouvert de centre et de rayon ,  et désigne le cercle de centre , de rayon , orienté dans le sens direct.

Le membre de droite est, comme fonction de , développable en série entière en , avec un rayon de convergence supérieur ou égal à , et ainsi le rayon de convergence du DSE de en est lui aussi supérieur ou égal à .
Comme est choisi arbitrairement, à condition de ne pas sortir de l'ouvert, on en déduit que le rayon de convergence est plus grand ou égal à la distance entre et le complémentaire de l'ouvert .

Mais il n'y a pas besoin de connaitre cela pour appliquer la méthode de carpediem : tu calcules le DSE de en 1, tu trouves deux possibilités, et ces deux DSE ont un rayon de convergence égal à 1, ce qui règle le problème.

Merci pour toutes ces explications !

Mais il reste un point que je ne comprends pas :

ah non j'ai du me tromper dans l'identification, j'imagine qu'il faut écrire que f²(z+1)=(z+1)²=(a_i z^i)²...

Reste à justifier l'interversion pour expliquer la phrase citée plus haut. C'est ça ?
Oui, et la convergence est uniforme, tu peux utiliser un théorème d'interversion série/intégrale.

C'est d'ailleurs comme ça que l'on peut prouver l'analycité des fonctions holomorphes : on prouve qu'elles vérifient la formule de Cauchy, et on applique le même raisonnement.

Pour le calcul du DSE,il faut effectivement écrire , et développer le carré à l'aide du produit de Cauchy.
En identifiant, on en déduit une relation de récurrence sur les , avec plusieurs chois (2) de conditions initiales.

Salut,

il me semble que j'ai tout compris, merci beaucoup pour ta patience et ta clarté !

Je dois maintenant trouver le résidu de f(z)/(z-1) en 1, c'est donc le a_0 de mon DSE, c'est ça ? C'est à dire 1 ou -1 suivant les cas ?

Sinon, autre chose lié aux fonctions analytiques que je n'ai pas bien compris : j'ai lu que "La somme d'une série entière est analytique à l'intérieur de son disque de convergence". Le problème, c'est que ce résultat me semble évident, alors qu'il ne l'est pas (parait-il). Je dispose de la démonstration de ce théorème mais je ne vois pas bien pourquoi ce n'est pas évident. Pourrais tu me convaincre de la non-évidence du résultat ?

En tout cas, merci beaucoup pour toute ton aide !

Pour le résidu, c'est bien ça, c'est , soit .

Si f est la somme d'une série entière de centre 0 et de rayon R, on sait que f est développable en série entière au voisinage de 0 (le centre), par définition.
Par contre, a priori, on ne sait rien pour les autres points, or pour être analytique, on doit être développable en série entière en tout point !

Si on a f(z) = , avec un rayon de convergence égal à l'infini par exemple, il n'est pas évident qu'il existe une suite telle que dans un voisinage de 1.

Pour montrer ce résultat, il y a deux possibilités : soit on le montre directement avec les séries entières, mais c'est assez laborieux (c'est lié à la composition des séries entières), soit on montre qu'une somme de série entière est holomorphe, et ensuite que les fonctions holomorphes sont analytiques, et le tour est joué.

Merci beaucoup Arkhnor, tout est clair maintenant

De rien.

A bientôt.