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Racine carrée d'un complexe

Posté par
Ramanujan 21-02-19 à 13:32

Bonjour,

Je suis dans la démo du théorème suivant : tout nombre complexe non nul z admet 2 racines carrées opposées.

On part de : Z^2 = z

En posant : Z= \rho e^{i \varphi} et z= r e^{i \theta} avec r >0 donc \rho > 0 car 0 n'est pas racine carrée de z \ne 0

On obtient : \rho = \sqrt{r} et \varphi \equiv \dfrac{\theta}{2} [ \pi]

Là vient le point qui le point qui me bloque... On en déduit :

Il existe k \in \Z tel que \varphi = \dfrac{\theta}{2} + k \pi

Mais du coup comment savoir comment sera k pair ou impair ? Vu que c'est un "il existe" ...

Parce qu'après on a : Z=\sqrt{r} e^{ i ( \dfrac{\theta}{2} + k \pi)}

Mais comment être sûr qu'il y aura 2 solutions ? Si k est pair on en aura une et si k est impair on en aura une autre...

Posté par
malou Webmasterre : Racine carrée d'un complexe 21-02-19 à 13:43

Je dirais :

On obtient : \rho = \sqrt{r} et \varphi \equiv \dfrac{\theta}{2} [ \pi]

On en déduit :

\varphi = \dfrac{\theta}{2} + k \pi avec k

Posté par
etniopalre : Racine carrée d'un complexe 21-02-19 à 13:55

Et il y a les k pairs et les autres

Posté par
Ramanujanre : Racine carrée d'un complexe 21-02-19 à 15:55

malou @ 21-02-2019 à 13:43

Je dirais :

On obtient : \rho = \sqrt{r} et \varphi \equiv \dfrac{\theta}{2} [ \pi]

On en déduit :

\varphi = \dfrac{\theta}{2} + k \pi avec k


Mais c'est un "il existe" ou "pour tout k" ?

Quand on passe de la congruence à : \varphi = \dfrac{\theta}{2} + 2 k \pi

Car si c'est un il existe, y a peut être qu'un seul k qui marche et donc dans ce cas on aurait qu'une solution qui sera :

Z_1 =\sqrt{r} e^{ i  \dfrac{\theta}{2}} ou Z_2 =\sqrt{r} e^{ i  (\dfrac{\theta}{2}+ \pi)}

Posté par
mousse42re : Racine carrée d'un complexe 21-02-19 à 16:34

Salut Ramanujan

Tu prends k =0 et tu as une solution , z_1 ensuite k=1 tu as z_2 ensuite k=2 tu as z_1 et pis k=3 tu as z_2 et ensuite ....k=22024 tu as z_1  

Posté par
Ramanujanre : Racine carrée d'un complexe 21-02-19 à 16:43

Oui j'ai compris Mousse.

Mais où dans le raisonnement  on a montré que la solution est valable pour tout k ?

Posté par
luzakre : Racine carrée d'un complexe 21-02-19 à 16:44

Bonsoir !
toujours à compliquer les choses élémentaires !
Relis ton énoncé : z=r\,e^{\mathrm{i}\theta} admet deux racines opposées.

Tu exhibes \omega=\sqrt{r}\,e^{\mathrm{i}\theta/2} et tu constates que \omega^2=z,\;(-\omega)^2=z : c'est TOUT ce que tu as à démontrer.

Si tu veux raffiner et démontrer qu'il y a seulement deux racines tu écris, que si \alpha est une racine on a \omega^2-\alpha^2=0 donc \alpha\in\{\omega,-\omega\}.

Posté par
mousse42re : Racine carrée d'un complexe 21-02-19 à 17:13

je pense qu'il ne faut pas confondre le fait que le couple soit unique et qu'il y a une infinité de façon de l'écrire.

Si le couple (z_1,z_2) est solution (càd z_1 et z_2 sont des racines carrées opposées) que l'on note

z_1 =a+ib et z_2 =c+id

Il y a en effet,  une infinité de façon d'écrire z_1 et z_2 avec l'exponentiel

Si z_1=\rho e^{i\theta} , on a aussi z_1=\rho e^{i(\theta+2\pi)}, néanmoins z_1 est unique et cette écriture aussi z_1 =a+ib est unique

Ainsi on a z_1=a+ib=\rho e^{i\theta}=\rho e^{i(\theta+2\pi)}

Si z_1 est une unique solution, tu n'as pas le droit de dire qu'il existe une infinité de solution, du fait qu'il existe une infinité de façon d'écrire z_1 avec l'exponentiel

Posté par
Ramanujanre : Racine carrée d'un complexe 21-02-19 à 17:47

Ah d'accord merci. C'est encore de l'analyse synthèse....

En supposant que la solution existe j'ai trouvé une solution de la forme : Z =\sqrt{r} e^{ i \dfrac{\theta}{2}+ k i \pi}

Vérifions que Z est bien solution :

Soit k \in \Z

Z^2 = r e^{i \theta} e^{2 i k \pi} =  r e^{i \theta} =z

Par ailleurs : e^{i k \pi}  = (-1)^k

Si k est pair alors e^{i k \pi} =1 et  : Z_1 = \sqrt{r} e^{ i \dfrac{\theta}{2}}

Si k est impair alors e^{i k \pi} =-1 et  : Z_2 = -  \sqrt{r} e^{ i \dfrac{\theta}{2}}

On a bien 2 solutions opposées : Z_1 = - Z_2

Posté par
mousse42re : Racine carrée d'un complexe 21-02-19 à 18:49

Désolé pour les fautes : infinité de façons et infinité de solutions et exponentielle


Soit un nombre complexe z=\rho e^{i\theta}, on cherche x,y tels que (xe^{iy})^2=\rho e^{i\theta}

On a donc x^2=\rho donc x=\pm\sqrt\rho}
2y=\theta +2k\pi donc y=\dfrac{\theta}{2}+k\pi

On pose y_1=\dfrac{\theta}{2} ou y_2=\dfrac{\theta}{2}+\pi

On pose z_1=xe^{iy_1} et le couple (z_1,-z_1) convient

ouz_2=xe^{iy_2} et le couple (z_2,-z_2) convient

Posté par
mousse42re : Racine carrée d'un complexe 21-02-19 à 19:10

Oué, moi aussi je m'embrouille, on z_1=-z_2

Posté par
Ramanujanre : Racine carrée d'un complexe 21-02-19 à 21:19

Oui c'est ça Mousse. Petit détail : on a forcément x=+\sqrt{p}  car le module d'un complexe est positif.

Posté par
mousse42re : Racine carrée d'un complexe 21-02-19 à 21:30

j'ai noté nulle part que x est le module de z

Posté par
Ramanujanre : Racine carrée d'un complexe 21-02-19 à 22:20

Ah d'accord comme vous avez changé mes notations je me suis encore embrouillé. Mais j'ai bien compris

Une petite question sur la méthode algébrique....

Supposons z \notin \R, prenons z=x+iy avec x \in \R et y \in \R^*. Soit Z=X+iY tel que Z^2=z

On en déduit :

1/ X^2 - Y^2 =x
2/ X^2 + Y^2 = \sqrt{x^2 + y^2}
3/ 2XY=y

D'après 3), le produit XY est du signe de y donc il existe deux couples vérifiant les 3 conditions.
Ça j'ai compris.

Par contre pas compris la remarque suivante :

Bien que n'utilisant que des conditions nécessaires (implications), le raisonnement précédent donne au plus 2 racines de z et comme on sait qu'il y en a exactement 2, il donne toutes les racines de z.

On a montré quelle implication ?
Pourquoi on trouve au plus 2 racines ?

On en a trouvé exactement 2 je comprends pas cette remarque de "au plus 2 racines"

Posté par
verdurinre : Racine carrée d'un complexe 21-02-19 à 22:42

Bonsoir Ramanujan.

Citation :
je comprends pas cette remarque de "au plus 2 racines"

Dans C une équation du second degré a soit une racine double soit deux racines simples.
Donc au plus deux racines.
Si on trouve deux racines distinctes on a toutes les racines.

Posté par
Ramanujanre : Racine carrée d'un complexe 21-02-19 à 23:06

@Verdurin

Les équations du second degré complexes sont abordées 2 pages après l'auteur ne parle pas de ça.

En combinant 1 et 2, on se ramène à X^2 = a et Y^2 =b avec (a,b) \in \R^2 pour avoir les solutions c'est simplement la racine carrée d'un réel.

On a 4 racines \pm \sqrt{a} et \pm \sqrt{b} 4 combinaisons possibles il en reste que 2 en utilisant 3/ avec le signe de XY qui est du signe de y

Mais j'ai toujours pas compris de quelle implication l'auteur parle et pourquoi il dit "au plus" et pas exactement 2 solutions.

C'est quoi le rapport entre le fait que c'est une implication et le fait qu'il y ait au plus 2 solutions ?

Posté par
mousse42re : Racine carrée d'un complexe 22-02-19 à 00:37

Je tente une réponse  (ça reste à valider):

à partir de ton énoncé tu as ceci :

\\ \text{énoncé}\implies \begin{array}{ll}X^2 - Y^2 =x\\X^2 + Y^2 = \sqrt{x^2 + y^2}\\ 2XY=y\end{array}\rightarrow \text{construction de} Z_1\;\text{et}\;Z_2

tu as au plus 2 racines (2 candidats)

Soit tu montres que Z_1^2=Z_2^2=z, c'est à dire \Longleftarrow

Soit tu utilises un théorème qui dit que tout nombre complexe possède exactement 2 racines carrées distinctes.

Posté par
Ramanujanre : Racine carrée d'un complexe 22-02-19 à 02:40

Merci bien Mousse, j'ai compris

Posté par
luzakre : Racine carrée d'un complexe 22-02-19 à 08:06

Citation :

Les équations du second degré complexes sont abordées 2 pages après l'auteur ne parle pas de ça.

tu comptes vivre longtemps avec ce cinéma ?
Besoin d'un chapitre pour écrire u^2-v^2=(u-v)(u+v) et ab=0\implies (a=0\text{ ou } b=0) ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Racine carrée d'un complexe 22-02-19 à 11:41

Bonjour,
Il s'agit de démontrer ceci :
Tout nombre complexe non nul z admet 2 racines carrées opposées.
En résumé :

1)Pour z non nul, il existe r réel strictement positif et t réel tel que z = r eit .
Il est facile de constater que ( (r) eit/2 )2 = z .

2) u2 = v2 v=u ou v=-u .
D'où v2 = z v = (r) eit/2

Posté par
carpediemre : Racine carrée d'un complexe 22-02-19 à 11:50

19 msg pour un truc qui prend cinq lignes ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Racine carrée d'un complexe 22-02-19 à 11:55

Quatre

Posté par
carpediemre : Racine carrée d'un complexe 22-02-19 à 11:56

résoudre l'équation z^2 = w d'inconnue z

il existe r et t tels que w = re^{it}  avec r > 0

de même z s'écrit z = xe^{iy}  avec x > 0

z^2 = w \iff x^2e^{2iy} = re^{it} \iff \left\lbrace\begin{matrix} x^2 = r\\ 2y = t + k 2 \pi \end{matrix}\right. \iff ...

ensuite depuis le collège on sait que pour tout objet mathématique compatible avec la multiplication : x^2 = (-x)^2

(déjà rappelé par d'autres ...)

Posté par
Ramanujanre : Racine carrée d'un complexe 22-02-19 à 12:16

D'accord merci pour votre aide.

En effet, c'est facile en plus, je passe à la suite, j'essaie d'avancer un peu

Posté par
carpediemre : Racine carrée d'un complexe 22-02-19 à 12:47

de rien


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