Bonjour,
L'argument d'un nombre complexe est toujours modulo 2
, donc l'argument de (1/4)(-1+i) est en réalité l'ensemble des 3
/4 +2k
pour k
.
D'où l'argument de z : (3
/4 +2k
)/3 =
/4 + 2k
/3, k
En fait, et c'est important pour la question suivante, il n'y a que 3 valeurs de k qui conduisent à des résultats distincts, et qui sont les 3 racines cherchées :
ce sont k = 0, 1, 2
Toutes les autres valeurs de k conduisent sur des résultats qui retombent à un multiple de 2
près sur ces 3 valeurs.
Donc les arguments cherchés sont :
/4 + 2k
/3, k
{0,1,2}
Pour la suite, il faut que tu élèves ce résultat à la puissance 4, l'argument sera alors :
Arg(z4) = 4(
/4 + 2k
/3), k
{0,1,2}
=
+ 8k
/3, k
{0,1,2}
Pour que z4 soit réel, il faut et il suffit que son argument soit multiple de
, donc ici que 8k
/3 soit multiple de
, donc que 8k/3 soit multiple de 1, donc entier, donc que k soit multiple de 3.
La seule solution admissible dans les valeurs possibles de k (qui sont 0,1,2) est k = 0