Niveau Licence Maths 1e ann

Racine d'un nombre complexe

Posté par
Scaramouche 29-12-11 à 02:49

Bonjour,

J'ai donc le problème suivant:

Soit l'équation z^3 = (-1+i)42

j'ai donc module de z^3 = 8
et argument de z^3 = 3/4

d'ou z^3 = 8exp(i3/4)

et donc zk = 2exp((i3/12)+(k/3)) avec k {0, 1, 2}

et donc
z0 = 2exp((i3/12)
z1 = 2exp((i7/12)
z2 = 2exp((i11/12)

Je dois ensuite déduire cos(11/12) et sin(11/12)

c'est ici que je bloque.

Posté par re : Racine d'un nombre complexe 29-12-11 à 05:32

Salut.

Utilise la formule de Euler:

$e^{ix} = cos(x) + i.sin(x)$

et la relation fondamentale de la trigonométrie: cos²(x) + sin²(x) = 1

Johnny

Posté par re : Racine d'un nombre complexe 29-12-11 à 06:13

bonjour,
$z_k=2e^{i\theta_k} k=0,1,2$ avec $\theta_k=\frac{3\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3}$ tu as mis $\frac{k\pi}{3}$
on a donc $z_1=2e^{i\theta_1}$ avec $\theta_1=\frac{3\pi}{12}+\frac{2\pi}{3}=\frac{11\pi}{12}$
$z_1=2(\frac{\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt2}{2})(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2})=2(cos(\frac{11\pi}{12})+isin(\frac{11\pi}{12}))$
la partie réelle de $z_1=2cos(\frac{11\pi}{12})=>cos(\frac{11\pi}{12})=-\frac{(1+\sqrt3).\sqrt2}{4}=-0,965..$
pour le sinus tu calcules la partie imaginaire de $z_1$

Posté par re : Racine d'un nombre complexe 29-12-11 à 18:29

Merci

Posté par re : Racine d'un nombre complexe 29-12-11 à 21:04

J'ai le même problème avec z^4 = 1+i3

je trouve les racines suivantes

z0 = 2^1/4exp((i/12)
z1 = 2^1/4exp((i4/12)
z2 = 2^1/4exp((i7/12)
z3 = 2^1/4exp((i10/12)

On me demande ensuite de déduire cos(13/12) et sin(13/12)

Par réciprocité je sais que z4 = z0

le problème est que je n'ai pas de valeur remarquable pour le cosinus et le sinus de /12

je peux éventuellement le décomposé de la sorte /12 = 4/12 - /4

Mais dans ce cas la j'ignore si je peux faire le produit comme dans l'exemple précédent ? (car il s'agit d'un différence et non d'une somme)

Merci de m'aider.

Posté par re : Racine d'un nombre complexe 29-12-11 à 23:31

je crois que tu as encore fait une erreur dans le calcul des arguments
pourk=0,1,1,3 $\theta_k=\frac{\pi}{12}+\frac{2k\pi}{4}$
donc c'est $z_2 qui a comme argument\frac{\pi}{12}+\frac{4\pi}{4}=\frac{13\pi}{12}$
on peut remarquer que $\frac{13\pi}{12}=2\pi-\frac{11\pi}{12}$ donc tu peux utiliser les résultats de la question précédente mais c'est peut être autre chose que l'on attend

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