Bonjour,

indications: résoudre une équation et penser aux racines n èmes complexes de l'unité.

La racine nième de -1 c'est celle de 1 avec + dans l'exponentielle ?
J'ai juste un doute sur ça sinon je suis sur que je vais trouver : ça donne i*tan(quelquechose) ^^

Oui tu as raison il s'agit en fait des racines n èmes de , donc de

Il n' y a pas de tan qui apparait a priori.

Je te donne mon raisonnement dis moi ce que tu en pense
(1+X)²ⁿ=-(1-X)²ⁿ
<=>(1+X)²ⁿ=eⁱ(1-X)²ⁿ

<=>1+X=e^{i*(/2n+2k/2n)}*(1-X)

<=>X=(e^i*(2k+1)/2n-e^i*0)/(e^i*(2k+1)/2n+e^i*0)

<=>X=i*tan((2k+1)/4n) Avec k[[0,2n-1]]

Ce qui est cohérent puisqu'on avait des question préliminaires sur cette tangente.

La réponse m'a l'air juste mais ce n'est pas très rigoureux.

De la 2è à la 3è ligne il faudrait faire le quotient des deux facteurs élevés à la puissance 2n avant de se débarrasser de cette puissance.
On retombe bien ensuite sur ta troisième ligne, mais seulement pour .

Effectivement, merci
Faut-il préciser que 1 n'est pas solution pour l'exclure par la suite ?

Exactement!

Je t'en prie!

Je reviens pour la suite du problème...

Je dois factoriser ce polynôme dans C puis dans R à l'aide des racines trouvées juste avant.

P se factorise autant de fois qu'il a de racines non ? J'ai ma formule qui donnerait P=(i=1->2n) (X-xi)ⁱ
Mais ça ne m'inspire vraiment rien !
On aurait =2 car on a deux fois X²ⁿ
Mais je vois mal pour les et comment faire varier mes solutions tangentes.

Merci encore ^^

C'est ça ?

2*(X-i*tan((2k+1)/4n)) Pour k variant de 0 à 2n-1 ?

C'est correct dans C, sauf que tes exposants valent tous 1, et que le coefficient dominant vaut 2(en développant P).

Dans R, il faut essayer de regrouper les racines conjuguées entre elles:
pour cela commence par justifier qu'il est équivalent de faire varier de à .

Messages croisés!

Pour la factorisation dans R on demande d'utiliser un résultat trouvé précédemment qui est -a_k=a_2n-1-k avec a_k=tan((2k+1)/4n)
(Sauf erreur de ma part !)
Sinon tu as du te tromper en parlant de faire varier lambda, ce n'est pas plutôt k ? Le reste est fixé.

Oui en effet, je voulais parler de k!

Ce que tu proposes revient à peu près à ce que je te conseillais de faire...ok !

(Tu auras à utiliser que le conjugué d'un imaginaire pur coïncide avec son opposé)

Bon alors j'ai remarqué donc que les (X-iak)(X+iak)=X²+ak²
Reste a définir le domaine d'évolution de k, puisqu'on scinde en deux au final, j'ai a_n-1=-a_n
Donc quand on arrive à n-1 il reste plus rien à rassembler donc au final ça ferait

P=2*X²+a_k²  Avec k variant de 0 à n-1.
Suis-je dans le juste ?
Par contre je sais pas trop comment rédiger !

Oui, c'est correct (sauf qu'il manque des parenthèses après le symbole du produit).

Pour rédiger, signale simplement que l'ensemble des entiers de [0; 2n-1] est la réunion disjointe pour k compris entre 0 et n-1 des ensembles à deux éléments {k; 2n-1-k}, ce que tu peux d'ailleurs aisément démontrer pour plus de rigueur.

Cette affirmation garantit qu'on peut bien faire le regroupement des facteurs qui nous arrange, qu'on n'oublie ce faisant aucun facteur, et qu'aucun facteur n'est compté deux fois!

Merci énormément !

Ensuite on me demande d'en déduire tan²((2k+1)/4n)
Et c'est égal à P(0)/2 = 1

Puis de calculer  (4+tan²((2k+1)/4n)) Et j'ai une formule  Pour le produit d'une somme comme là mais je n'arrive pas a la comprendre !! C'est une somme du produit des produits avec un ensemble complémentaire.

Ca donne ça : (xi+x'i)  (i=1->n)   =(XP([[1,n]])(xi (iX)x'i (iXbar)

C'est pas très lisible :/
Donc je pensais utiliser ça puisque j'ai le premier produit mais cette formule me plait pas trop.

Ah non je suis bête !!!!! C'est bon c'est P(2)

Je t'en prie!

Tes produits courent de à ?

Si oui, ta première réponse me parait correcte, et la seconde vaut plutôt

Oui tout à fait. Désolé du retard pour la réponse.

Dans la suite du devoir on prenait P(X)=Q(X^2)Il fallait trouver le coefficient de X^n-1 pour Q
puis en déduire tan²((2k+1)/4n = n(2n-1)
Je pense avoir réussi : J'ai utilisé deux notation pour Q : celle déduite de l'étude de P (On substitue X à X²) et celle obtenue avec les binomes de newton
J'ai deux valeurs pour le coeff de X^n-1 où apparait la somme cherchée et j'en déduit le résultat.

J'imagine que désigne le polynôme initial, et qu'on t'a fait vérifier lors des questions précédentes que les coefficients d'ordre impair de étaient tous nuls?

Sur le principe, ta méthode est correcte.
N'oublie pas de bien justifier que l'ensemble des racines de coïncide avec l'ensemble des carrés des racines de .