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Racine n-ième d'un nombre complexe

Posté par
fredo889 24-12-15 à 13:25

Bonjour,
Je bute sur un exercice !
Je dois déterminer les naturels n tel que A=0 avec

A=(1+i{ \frac{\sqrt[]{3}}{3}})^n-(1-i{ \frac{\sqrt[]{3}}{3}})^n

J'ai donc calculer la racine n-ième de

(Z)^n=1

( avec ({ \frac{1+i{ \frac{\sqrt[]{3}}{3}}}{1-i{ \frac{\sqrt[]{3}}{3}}}})^n=1 )

où j'ai trouvé que Zn=e^{\frac{2k\pi}{n}}}

Donc, { \frac{1+i{ \frac{\sqrt[]{3}}{3}}}{1-i{ \frac{\sqrt[]{3}}{3}}}}=e^{\frac{2k\pi}{n}}}

Cependant je n'arrive pas à continuer ! Je suis bloqué, pourriez vous me donner un indice?

Cordialement, Fred

Posté par
mdr_nonre : Racine n-ième d'un nombre complexe 24-12-15 à 13:34

bonjour : )

On parle de racine n-ième pour n non nul.
Il faut donc, avant de t'engager dans tes calculs, traiter le cas n = 0 à part qui satisfie bien A = 0.

Pour n non nul tu peux résoudre comme tu l'as fait.
Si on pose a = 1 + i/V3 = 1/V3(V3 + i) = 2/V3(V3/2 + i/2) = 2/V3exp(ipi/6), et a* son conjugué,

On cherche à trouver les n non nuls tels que a^n - a*^n = 0 soit a/a* = exp(ipi/6)/exp(-ipi/6) = exp(ipi/3) = exp(2kipi/n)

...

Posté par
alainpaulre : Racine n-ième d'un nombre complexe 24-12-15 à 13:43

Bonjour,

Poser
\frac{\sqrt{3}}{3}=tg(t)[

alain

Posté par
fredo889re : Racine n-ième d'un nombre complexe 24-12-15 à 15:47

mdr_non, je n'ai pas bien compris ce que tu me dis... Ce n'est pas 1-i/V3 mais 1-i*3/V3

Alainpaul, je met donc
{ \frac{1+i*tan(\pi/6)}{1-i*tan(\pi/6)}=e^{\frac{2k\pi}{n}}}

et après? comment j'extrais n?

Posté par
mdr_nonre : Racine n-ième d'un nombre complexe 24-12-15 à 15:50

tu devrais relire ton premier message...

V3/3 = 1/V3...

Posté par
fredo889re : Racine n-ième d'un nombre complexe 24-12-15 à 15:54

Oui, excuse moi! Tu me dis donc de mettre mes deux termes sous forme expo et le tour et joué, j'essaye ce de suite !

Posté par
fredo889re : Racine n-ième d'un nombre complexe 24-12-15 à 16:05

Pour conclure, on a donc:

{ e^{\frac{i\pi}{3} }=e^\frac{2k\pi}{n} \\ \\ \equiv     \\ \\ { {\frac{i\pi}{3} }=\frac{2k\pi}{n} \\ \\ \equiv     \\ \\ {n}= \frac{6k}{i} \\ \\

Posté par
mdr_nonre : Racine n-ième d'un nombre complexe 24-12-15 à 17:35

il manque les modulos 2pi, (deux complexes sont égaux s'ils ont même module et même argument à 2pi près)

et à nouveau, il manque le i dans ton exp(i2kpi/n)
et pas de i quand on écrit les équations,


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