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racine niéme d'un nombre complexe

Posté par
sarah00 05-02-13 à 02:35

bonjour tout le monde j'ai un petit exercice a resoudre sur les nombres complexes et les racines niemes

1- donner la forme trigonometrique de nombre complexe z=3 + i
2- calculer (3 + i)73

pour la pemiere question :

z=2((3/2) + i(1/2))=2(cos(3/2 + i sin (1/2)=2(cos /6 + i sin /6) = 2ei/6

pour la 2eme je sais pas comment faire et besoin d'aide pour comprendre la racine niéme et merci d'avance

Posté par
LeDinore : racine niéme d'un nombre complexe 05-02-13 à 03:02

Ce n'est pas la racine n-ième. C'est la puissance 73 de z.
z = 2ei/6

Z = z73
|Z| = |z73| = |z|73 = 273
Arg(Z) = Arg(z73) = 73.Arg(z) = 73./6 = /6 modulo 2

Z = 273ei/6

Posté par
sarah00reponse 05-02-13 à 03:26

j'ai pas compris comment vous avez fait calcule pouvez vous m'expliquer svp et c'est quoi la racine nieme ?!! merci

Posté par
veledare : racine niéme d'un nombre complexe 05-02-13 à 07:04

bonjour,
*tu as du voir en cours que
|z^n|=|z|^n \\ arg(z^n]=n.arg(z)  (2\pi)
ce sont les propriétés que leDino a utilisées pour calculer la puissance n de z

**un complexe n'a pas qu' une racine nième il en a n
v est racine nième de z si v ^n=zce qui se traduit par
|v|^n=|z|=>|v|=|z|^{\frac{1}{n} \\ n.arg(v)=arg(z) (2\pi)

les racines nièmes de z sont les v_k
de module|z|^{\frac{1}{n}
d'argument\frac{arg(z)}{n}+\frac{2k\pi}{n} pour  k entier 0\le k\le n-1

Posté par
sarah00reponse 05-02-13 à 09:01

bonjour merci beaucoup pour l'explication

Posté par
veledare : racine niéme d'un nombre complexe 05-02-13 à 16:38

de rien

Posté par
sarah00reponse 05-02-13 à 19:59

un exemple svp pour le racine nieme d'un nombre complexe ?!! et merrci

Posté par
ptinoir_phiphire : racine niéme d'un nombre complexe 05-02-13 à 20:21

Salut

EXO TYPE à savoir répondre...

Soit z \in \mathh{C} et soit n \in \mathbb{N}

Résoudre l'équation z^n=1 et faire une interprétation graphique du résultat..

Posté par
sarah00reponse 05-02-13 à 20:56

bonsoir je sais pas comment faire :$

Posté par
veledare : racine niéme d'un nombre complexe 05-02-13 à 22:55

tu cherches |z| et arg(z)
|z|^n=|1|=1=>|z|=... \\ n.arg(z)=arg(1) =0    (2\pi)

les racines nièmes de 1 sont donc les complexes z_k=...

Posté par
sarah00reponse 06-02-13 à 19:51

bonsoir j'arrive pas a comprendre ce racine niéme pouvez vous m'expliquer svp :$

Posté par
sarah00re : racine niéme d'un nombre complexe 06-02-13 à 21:22

zn=1
zn=rnein
c'est l'ensemble des solution Un={eiki/n avec 0=<K=<n-1 ]

Posté par
veledare : racine niéme d'un nombre complexe 06-02-13 à 23:05

oui,tu as fini par trouver,les images Mk des n racines nièmes de 1 sont les n sommets sur le cercle trigonométrique d'un polygone régulier ,M0 étant le point (1,0)

Posté par
sarah00reponse 07-02-13 à 00:21

pour le calcule de 2eme question de l'exercice (3 + i)73 c'est egale a 1  ?!!


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