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Racines 5-ième d'un complexe

Posté par
Fractal 04-02-17 à 16:57

Bonjour,

J'ai un blocage.

Comment trouver les racines 5-ième de \dfrac{1+i}{\sqrt{3}-1} ?

Je n'arrive pas à mettre ce complexe sous forme trigonométrique et/ou exponentielle.

Posté par
malou Webmasterre : Racines 5-ième d'un complexe 04-02-17 à 17:02

Bonjour !
pas de i au dénominateur ? (pas d'erreur de recopie ?)

si pas d'erreur,
1+i à mettre sous forme exponentielle, et module à diviser par le dénominateur qui est positif

Posté par
Fractalre : Racines 5-ième d'un complexe 04-02-17 à 17:05

Bonjour Malou,

Bien vu.

Comment trouver les racines 5-ième de \dfrac{1+i}{\sqrt{3}-i} ?

Posté par
malou Webmasterre : Racines 5-ième d'un complexe 04-02-17 à 17:07

\left(re^{i\theta}\right)^5=\text{ ton nombre en écriture exponentielle}

Posté par
Fractalre : Racines 5-ième d'un complexe 04-02-17 à 17:16

Le problème, c'est que je n'arrive pas à écrire

\dfrac{1+i}{\sqrt{3}-i}

sous la forme

\varphi e^{i\theta }

Posté par
malou Webmasterre : Racines 5-ième d'un complexe 04-02-17 à 17:21

si tu places 1+i dans ton plan complexe, tu as immédiatement que c'est égal à \sqrt 2 e^{i\frac {\pi }{4}, non ?


eh..t'as changé d'énoncé là...nous voilà avec un i en dénominateur ....
alors, quel est le véritable énoncé ?

Posté par
jsvdbre : Racines 5-ième d'un complexe 04-02-17 à 17:21

Bonsoir Fractal et malou

Si j'écris 1 = \dfrac{\sqrt 3 +i}{\sqrt 3 +i}, et z = 1.z, il ne te vient pas des idées ?

Posté par
carpediemre : Racines 5-ième d'un complexe 04-02-17 à 17:31

salut

lorsqu'on connait les valeurs particulières trigonométriques ... ou lorsqu'on ne les connait pas mais qu'on sait qu'il y en a (et alors on ouvre son cours pour regarder, réviser et voir) que ::

\dfrac {1 + i} {\sqrt 3 - i} = \sqrt 2 \left( \dfrac 1 {\sqrt 2} + \dfrac 1 {\sqrt 2} i \right) \dfrac {\dfrac 1 2}{\dfrac {\sqrt 3} 2 - \dfrac 1 2 i}

ou alors on commence par se simplifier la vie ::

\dfrac {1 + i} {\sqrt 3 - i} = \dfrac 1 4 (1 + i)( \sqrt 3 + i}) = \dfrac 1 {\sqrt 2} \left( \dfrac 1 {\sqrt 2} + \dfrac 1 {\sqrt 2} i \right) \left( {\dfrac {\sqrt 3} 2 + \dfrac 1 2 i} \right)

Posté par
Fractalre : Racines 5-ième d'un complexe 04-02-17 à 17:35

Citation :
quel est le véritable énoncé ?


Celui-ci :

Trouver les racines 5-ième de \dfrac{1+i}{\sqrt{3}-i}

Posté par
malou Webmasterre : Racines 5-ième d'un complexe 04-02-17 à 17:42

oui, et pour terminer

\sqrt 3 -i=2(\frac{\sqrt 3}{2}+ i (-\frac 1 2)) facile à mettre sous forme exponentielle
puis quotient des deux

Posté par
Fractalre : Racines 5-ième d'un complexe 04-02-17 à 18:00

J'arrive à :

z^5=\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{i\frac{5\pi}{12}}

Cela vous parait-il juste ?

Posté par
malou Webmasterre : Racines 5-ième d'un complexe 04-02-17 à 18:04

t'as pas une erreur de signe d'argument ou je ne sais
j'aurais dit

z^5=\dfrac{\sqrt{2}}{2}e^{i\frac{7\pi}{12}}
mais c'est peut-être moi qui me suis trompée

Posté par
malou Webmasterre : Racines 5-ième d'un complexe 04-02-17 à 18:08

non c'est toi qui as raison ! excuse !

Posté par
Fractalre : Racines 5-ième d'un complexe 04-02-17 à 18:08

Je te remercie.
Je vais vérifier.

Posté par
Fractalre : Racines 5-ième d'un complexe 04-02-17 à 18:08

Ah, ok, merci Malou.

Posté par
malou Webmasterre : Racines 5-ième d'un complexe 04-02-17 à 18:09

messages croisés, excuse moi !

Posté par
lediletantexre : Racines 5-ième d'un complexe 05-02-17 à 06:03

((1 + i)/(sqrt(3) - i))^(1/5)

Posté par
lediletantexre : Racines 5-ième d'un complexe 05-02-17 à 06:13


Bonjour;

J'ai raté la mise en page.

Lorsque l'on cherche une racine, et pour le pb posé l'écriture devrait-être:
  
\sqrt[5]{{\frac{{1 + i}}{{\sqrt 3  - i}}}} = \left( {\frac{{1 + i}}{{\sqrt 3  - i}}} \right)^{\frac{1}{5}}

Posté par
carpediemre : Racines 5-ième d'un complexe 05-02-17 à 10:12

surement pas ...

Posté par
Razesre : Racines 5-ième d'un complexe 05-02-17 à 16:54

Tu peux faire comme suit, car parfois quand on simplifie une fraction complexe il devient difficile de trouver l'argument (Dans ton cas tu as trouvé \frac{\pi }{12}, en tout cas moi je ne le connais pas par cœur)

Z=\dfrac{1+i}{\sqrt{3}-i}
Pose: z_1=1+i=\rho _1e^{\theta _1i} et z_2=\sqrt{3}-i=\rho _2e^{\theta _2i}

Z=\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{\rho _1e^{\theta _1i}}{\rho _2e^{\theta _2i}}=\dfrac{\rho _1}{\rho _2}e^{\left (\theta _1-\theta _2\right )i}


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